Definitsioon ¨ et jada {xn } Utleme, n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {xn }n=1 piirva¨ artus ¨ on a) kui iga 0 < R korral leidub N N nii et xn U (a) iga n > N korral. n ¨ Tahistame xn a voi ~ xn - a voi ~ lim xn = a. n ¨ Naide ({ n1 }n=1 ) 1 ¨ Naitame, et lim = 0. Fikseerime . Peame leidma sellise N N, et n n 1 n U (0) iga n > N korral. Vastavalt umbruse ¨ definitsioonile | n1 - 0| = n1 < . Saame n > 1 , seega n1 U (0) iga n > N = 1 korral. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 9 / 24 Jada piirva¨ artus
Arvu b nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) Olgu {xn} Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano- Weierstrassi teoreemi > 0, et iga x ∈ (a, a + δ(ε)) korral kehtib vorratus |f(x) − b| < ε. kohaselt sisaldab {xn} mingi koonduvaosajada {xnk}. Tahistame a := limk→∞ xnk Funktsioonil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga jada {Xn} mis koondubja naitame, et limk→∞ xn = a. Olgu ε > 0 ja olgu N selline indeks, et punktis a korral jada {f(xn)} koondub arvuks b. |xn+p − xn| < ε/2 (n > N, p ∈ N) Funktsioonil f eksisteerib punktis a arvuga b vorduv piirväärtus parajasti siis kui Edasi, olgu K ∈ N valitud nii, et nk > N kui k > K ja |xnk − a| < ε/2 Omadused: Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st
annaabi.ee 
