f (x) = arcsin(x) f (x) = arccos(x)
f (x) = arctan(x) f (x) = arccot(x).
Definitsioon 11
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud
p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste
tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja
liitfunktsiooni moodustamise teel.
Jada piirv¨a¨artus
Definitsioon 1
Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on
naturaalarvude hulk N.
{x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn}
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
_>0 korral leidub N 2N, et iga n >N korral kehtib v˜orratus
|xn −a|
Taolisesse ümbrusesse kuuluvad jada elemendid rahuldavad võrratust 1 - < xn < 1 + . Lahendame selle võrratuse arvu n suhtes: 1 - < xn < 1 + 1 - < 1 + < 1 + - < < <1< > n> . Järelikult: kui me etteantud > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > , siis kehtib xn (1 - , 1 + ) iga xm-le järgneva jada liikme xn korral. Seega on jada piirväärtuse definitsioon täidetud arvuga a = 1. Olemegi tõestanud,et lim(1 + (-1)n2n)= 1. Illustreerime seda tõestust veel mõnede erijuhtude vaatlemisega . Selleks paneme kirja mõned jada esimesed elemendid: x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875, x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . . Olgu = 0.1. Näeme, et alates neljandast elemendist kuuluvad kõik järgnevad jada elemendid ümbrusesse (1 - , 1 + ) = (1 - 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1). Järgmiseks olgu = 0.05. Alates viiendast elemendist kuuluvad kõik järgnevad jada
võrratust 1 − ϵ < xn < 1 + ϵ. Lahendame selle võrratuse arvu n suhtes: 1 − ε < xn < 1 + ε ⇔ 1 − ε < 1 + < 1 + ε ⇔ −ε < <ε⇔ <ε⇔1< ε⇔ > ⇔n> . Järelikult: kui me etteantud ε > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > , siis kehtib xn ∈ (1 − ε, 1 + ε) iga xm-le järgneva jada liikme xn korral. Seega on jada piirväärtuse definitsioon täidetud arvuga a = 1. Olemegi tõestanud,et lim(1 + (−1)n2n)= 1. Illustreerime seda tõestust veel mõnede erijuhtude vaatlemisega . Selleks paneme kirja mõned jada esimesed elemendid: x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875, x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . . Olgu ε = 0.1. Näeme, et alates neljandast elemendist kuuluvad kõik järgnevad jada elemendid ümbrusesse (1 − ε, 1 + ε) = (1 − 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1). Järgmiseks olgu ε = 0.05. Alates viiendast elemendist kuuluvad kõik
annaabi.ee 
