y Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0 Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< 0< x < y < y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0 Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega). Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' ' Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u
y Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0 Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< 0< x < y < y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0 Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega). Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' ' Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u
annaabi.ee 
