Teoreemi 2 põhjal on hulk loenduv. Järeldus 1. Naturaalarvude hulga ja täisarvude hulga kõik lõpmatud osahulgad on loenduvad. Teoreeme 3 ja 4 on loomulik mõista nii, et loenduv võimsus on vähim lõpmatu võimsus. Järgmiseks teeme kindlaks, rea loenduvuse omadusi, mis on seotud ühendi ja otsekorrutisega. Teoreem 5. 1. Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2. Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3. Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4. Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5. Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6. Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv. 7. Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv. Teoreem 6. 1. Kui on lõplik tähestik {1,2,3,...,}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv. 2. Programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv. 3. Kui on loenduv tähestik {1,2,3,..
Näide: · Z on loenduv · Q on loenduv · R ei ole loenduv! · (0, 1) ei ole loenduv! David Hilbert (18621943) tutvustas 1924. aastal ühes oma loengus järgmist lõpmatust illustreerivat näidet. Näide: Oletame, et meil on üks hotell, milles on loenduv arv tubasid ja selle hotelli igas toas on üks inimene. · Kas hotelli mahub veel üks külaline? · Kas hotelli mahub veel lõplik arv külalisi? · Kas hotelli mahub veel loenduv arv külalisi? Lause (Loenduvate hulkade omadusi) Hulk X on loenduv parajasti siis, kui hulga X elemendid saab esitada paarikaupa X ={x 1 , x 2 , ... } erinevate elementide lõpmatu jadana: . TÕESTUS Kui X on loenduv, siis leidub bijektsioon f : N X . Nüüd saame hulga X esitada lõpmatu jadana nii X ={f (1) , f (2), f (3) , ... } . X ={x 1 , x 2 , x 3 ,... } f : N X , kus f (n)=xn
annaabi.ee 
