+ ( + ))' = (( + ) + )' = ( + ) + . Seega on vasak ja parem pool tõesti võrdsed. Liitmise kommutatiivsus Naturaalarvude liitmine on kommutatiivne: [ + = + ] Tõestus: Liitmise kommutatiivsuse tõestamiseks kasutame kõigepealt induktsiooni muutuja järgi ja selle induktsiooniga tekkivas kummaski lemmas veel induktsiooni järgi. Induktsioonis muutuja järgi on aksioomis P7 oleva valemi A(x) rollis on [ + = + ] . Tuleb tõestada kaks lemmat: Lemma 2.1 (induktsiooni baas). [0 + = + 0] Lemma 2.2 (induktsiooni samm) [[ + = + ] [ + = + ]] Baaslemma [0 + = + 0] tõestus Tõestame induktsiooniga y järgi: Lemma 2.1.1. 0 + 0 = 0 + 0. Selle lemma kehtimine on ilmne. Lemma 2.1.2. [0 + = + 0 0 + = + 0]. Selle üldisuse kvantoriga valemi tõestamiseks tähistagu suvalist naturaalarvu. Piisab, kui tõestame 0 + = + 0 0 + = + 0. (*) Olgu implikatsiooni vasak pool 0 + = + 0 tõene
an1 an 2 K ann a1n a2 n K ann See omadus ütleb, et determinandi iga ridade puhul kehtiva omaduse jaoks saab sõnastada analoogse omaduse veergude jaoks. Omadus 2. Kui determinandil D = det A vahetada omavahel kaks rida (või veergu), siis saadud determinandi väärtus on D (determinant muudab märki). Selle omaduse tõestuses kasutatakse lemmat 3 (§ 1). Omadus 3. Kui determinandis kaks rida (või veergu) langevad omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga. Tõestus. Langegu determinandis D kaks rida omavahel kokku. Nende ridade vahetamisel ühelt poolt determinandi D väärtus ei muutu, teiselt poolt aga omaduse 2 põhjal muutub tema märk vastupidiseks. Seega D = - D , 2 D = 0 ja D = 0 . Omadused 4 ja 5 järelduvad summa märgi omadustest. Omadus 4
Tõestus. Olgu m ∈ N {1} , oletame vastuväiteliselt, et m − 1 ∈ / N. Näitame, et hulk A := N {m} on induktiivne, siis lause 1.9 kohaselt saame vastuolu seose N {m} = N näol. Kuna 1 6= m, siis 1 ∈ A, seega induktiivse hulga definitsiooni tingimus (i) on täidetud. Näitame, et ka (ii) on täidetud. Olgu n ∈ A, siis n ∈ N, järelikult n + 1 ∈ N, sest N on induktiivne. Seejuures n + 1 6= m (selgitada!)z, s.t. n + 1 ∈ A. Tõestatud lemmat rakendame naturaalarvude lahutamistehte kirjeldamisel. Omadus 1.14 Kui m, n ∈ N ning m > n, siis m − n ∈ N. Tõestus. Olgu m ∈ N {1} suvaliselt fikseeritud, näitame induktsioonimeetodit kasu- tades, et m − n ∈ N iga naturaalarvu n < m puhul. Väide kehtib juhul n = 1, sest lemma 1.13 põhjal m − 1 ∈ N. Eeldame, et väide kehtib juhul n, s.t. m − n ∈ N, ja veendume, et m − (n + 1) ∈ N. Selleks rakendame veel kord lemmat 1.13, mille kohaselt
annaabi.ee 
