= + ] . Selle implikatsiooni tõestamiseks eeldame, et kehtib tema vasak pool [ + = + ] (**). Näitame, et siis ka parem pool [ + = + ] on tõene. Tõestame üldisuse kvantoriga väite [ + = + ] induktsiooniga järgi. Selleks on vaja tõestada kaks lemmat: Lemma 2.2.1 (Induktsiooni baas). + 0 = 0 + Lemma 2.2.2 (Induktsiooni samm). [( + = + ) ( + = + )]. Lemma 2.2.1 järeldub juba tõestatud lemmast 2.1 (0 liitmine kommuteerub). Lemma 2.2.2 tõestus Tähistagu suvalist naturaalarvu. Peame tõestama ( + = + ) ( + = + ). Implikatsiooni tõestamisel eeldame, et + = + (***) ja tõestame + = + . Teisendame viimase võrduse vasakut poolt: + = ( +) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = + . Teisenduse sammudel on kasutatud: P4, implik eeldus (***), P4, kommuteerumise eedus b kohta (**), P4, implik eeldus (***). Sellega on lemma 2.2.2 tõestatud ja ka lemma 2
= ∪∞ ∞ i=1 (X (X Ai )) = ∪i=1 Ai , mis on vastuolus eeldusega, et A on ruumi X kate. Vastuolu tekkis eeldusest, et A ei oma l˜oplikku osakatet. J¨arelikult omab ruumi X lahtine kate A l˜oplikku osakatet ja ruum X on kompaktne. Implikatsioon 20 =⇒ 10 on n¨aidatud. Kuna teist loenduvuse aksioomi rahuldav topoloogiline ruum rahuldab ka esimest loenduvuse aksioomi, siis ekviva- lents 20 ⇐⇒ 30 j¨areldub lemmast 7.2. 7.3 Kompaktsus meetrilistes ruumides Laialt levinud topoloogilise ruumi erijuhuks on meetriline ruum. Meetrilised ruumid rahuldavad esimest loenduvuse ak- sioomi, sest iga punkti x u ¨mbruste loenduvaks baasiks on lahtiste kerade B(x; r) hulk, kus r muutub u ¨le ratsionaalarvu- de hulga. J¨argnevalt kirjeldatakse kompaktsed hulgad meetri- lises ruumis X meetrikaga d. Saadud tulemused kehtivad eri- juhuna ka ruumide R ja Rn jaoks. Lemma 7
See teoreem järeldub otseselt teoreemist lõigus pideva funktsiooni nullkohast (teoreem 3.11): kui lõigus [a, b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides on erinevate märkidega, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c omadusega f (c) = 0. Teoreemi 3.11 tõestus oli üles ehitatud teoreemile sisestatud lõikudest (vt. teoreem 2.18). Järgnevalt näitame, et teoreemi 3.11 (seega ka teoreemi 3.13) võib vaadelda järeldusena Heine–Boreli lemmast. Teoreemi 3.11 tõestus. Eeldame, et funktsioon f : [a, b] → R on pidev ning (konkreetsuse mõttes) f (a) < 0 ja f (b) > 0. Oletame vastuväiteliselt, et f (x) 6= 0 iga x ∈ [a, b] korral. Funktsiooni pidevuse definitsioonist tuleneb järgmine väide: kui funktsioon f : D → R on pidev punktis z ja f (z) > 0 (f (z) < 0) siis leidub punktil z selline ümbrus Uδ (z), et f (x) > 0 (f (x) < 0) iga x ∈ Uδ (z) ∩ D korral (tõestada!)z
annaabi.ee 
