Saame = (1 1 + 2 2 + + ) = (1 )2 + (2 )2 + + ( ) millest = (1 , 2 , ... . , ) Teoreem 12.1. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahendikomplektide hulk Lh on vektorruumi n (või Mat(1,n)) alamruum. Tõestus Valemi (8.5-) kohaselt on vaja esiteks näidata, et hulk L on mittetühi. See on meil juba näidatud. (Lahendiks on nullvektor) Teiseks on vaja näidata, et mistahes kahe reaalarvu ja ning lineaarvõrrandisüsteemi (12.3-) mistahes kahe lahendivektori = (1 , 2 , ... , ), = (1 , 2 , ... , ) korral ka vektor + = (1 + 1 , 2 + 2 , ... , + ) on lineaarvõrrandisüsteemi (12.3) lahendivektoriks. Kuna eelduse kohaselt , , siis 11 1 + 12 2 + + 1 0, 22 1 + 22 2 + + 2 0, .................................................. 1 1 + 2 2 + + 0 ja
........................ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0, nimetame võrrandisüsteemi a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, .......................... (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai , .......................... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am. taandatud lineaarvõrrandisüsteemiks. Mittehomogeense LVS-i lahendivektori avaldamine LVS-i erilahendi ja taandatud LVSi fundamentaalsüsteemi kaudu vektorkujul ja komponentkujul Valemeid x = t1c1 + t2c2 + . . . + tn-scn-s, iga t1, t 2, . . . , tn-s R ja x1 = t1c11 + t2c21 + . . . + tn-scn-s,1, x2 = t1c12 + t2c22 + . . . + tn-scn-s,2, .................................... xi = t1c1i + t2c2i + . . . + tn-scn-s,i , .................................... iga t1, t2, . . . , tn-s R. xn = t1c1n + t2c2n + . . . + tn-scn-s,n,
annaabi.ee 
