Kui f ( x ) ≥ 0 lõigul [a ; b] , siis kehtib ka ∫ f ( x ) dx ≥ 0 . a Tõestus Kui f ( x ) ≥ 0 kogu lõigul [a ; b] , siis on f ( x ) ≥ 0 igal osalõigul [ x k−1 ; x k ] , k=1, 2,3, … , n , seega kehtib ka f ( ξ k ) ≥ 0. Korrutased viimast võttatust viimase k -osalüigu pikkusega, saame f ( ξ k ) ∆ x k , k=1, 2, 3, … ,n . Liites kõik n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse n ∑ f ( ξ k ) ∆ x k ≥ 0. k=1 Kuna mittenegatiivse suuruse piirväärtus on piirprotsessis λ → 0 mittenegatiivne suurus, on omadus tõestatud. Järeldus 2. Lõigul [a ; b] f ( x ) ≥ g( x ) , siis kehtib b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .
mida soovisimegi tõestada. (L. Pallas) Omadus 3. b Kui f ( x ) ≥ 0 lõigul [a ; b] , siis kehtib ka ∫ f ( x ) dx ≥ 0 . a Tõestus Kui f ( x ) ≥ 0 kogu lõigul [a ; b] , siis on f ( x ) ≥ 0 igal osalõigul [ x k−1 ; x k ] , k=1, 2,3, … , n , seega kehtib ka f ( ξ k ) ≥ 0. Korrutased viimast võttatust viimase k -osalüigu pikkusega, saame f ( ξ k ) ∆ x k , k=1, 2, 3, … ,n . Liites kõik n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse n ∑ f ( ξ k ) ∆ x k ≥ 0. k=1 Kuna mittenegatiivse suuruse piirväärtus on piirprotsessis λ → 0 mittenegatiivne suurus, on omadus tõestatud. (L. Pallas) Järeldus 2. Lõigul [a ; b] f ( x ) ≥ g(x ) , siis kehtib b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .
annaabi.ee 
