S ( x ) = na n x n -1 . n =0 Astmerea (1) liikmeti integreerimisel või diferentseerimisel tema koonduvusraadius ei muutu. Samad omadused kehtivad ka astmerea (2) kohta tema koonduvusvahemikus (a - R; a + R ) . Teoreem (Abeli lemma). Kui astmerida (1) koondub koonduvusvahemiku (- R; R ) parem- poolses otspunktis R , siis selle astmerea summa S (x ) on vasakult pidev punktis R , st. S (R - ) = S ( R ) . Samasugune lemma kehtib ka koonduvusvahemiku vasakpoolse otspunkti - R kohta. 27 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Funktsioonide arendamine astmeritta
summa, s.t. s (x) := ak xk iga x ∈ (−r, r) korral. Enne, kui asume uurima funktsiooni s P k=0 omadusi, tõestame lause, mis kirjeldab astmerea ühtlast koonduvust. ∞ Lause 6.37 Astmerida ak xk koondub ühtlaselt igas lõigus [a, b] , kus −r < a < b < r. P k=0 Tõestus. Olgu [a, b] koonduvusvahemiku (−r, r) suvaline osalõik, tähistame η := max {|a| , |b|}, siis [a, b] ⊆ [−η, η] ⊆ (−r, r) (selgitada!)z. Paneme tähele, et ak xk 6 |ak | η k (x ∈ [−η, η] , k ∈ N0 ) , 162 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread ∞ kusjuures arvrida |ak | η k koondub (selgitada!)z. Weierstrassi koonduvustunnuse (vt. lau-
annaabi.ee 
