Tõepoolest, kui |a| ≤ c, siis a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c ja −a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c, mis tingimuse ** kohaselt tähendab, et −c ≤ a. Kokkuvõttes −c ≤ a ≤ c. Piisavus. Nüüd eeldame, et −c ≤ a ≤ c, siis −a ≤ c , mistõttu |a| = max {a,−a} ≤ c. Lause on tõestatud Absoluutväärtuse tehetega seotud omadused: Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited: (a) |a + b| ≤ |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus), (b) |a − b| ≤ |a| + |b|, (c) ||a| − |b|| ≤ |a − b|, (d) |ab| = |a| |b|. ** - võrratused a < b ning −b < −a on samaväärsed 5. Intervallid Esitada intervallide definitsioon - Intervalliks nimetatakse sellist alamhulka X ⊂ R, millel on järgmine omadus: kui a, b ∈ X ja a < x < b, siis x ∈ X. Tuua (põhjendustega) 2 näidet lõpmatust reaalarvude hulgast, mis ei ole intervall: Intervallide tüübid (vahemik, poollõik, lõik; tõkestatud ja tõkestamata intervallid):
Selge, et |a| = max {a, −a} , selle seose kohaselt 1) a 6 |a| ja −a 6 |a| , 2) |a| > 0, 3) |−a| = |a| (selgitada!)z. Olulist rolli järgnevas mängib järgmine absoluutväärtuse omadus. Lause 1.27 Arvude a ja c korral kehtib võrratus |a| 6 c parajasti siis, kui −c 6 a 6 c. Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 1.28 Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited: (a) |a + b| 6 |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus), (b) |a − b| 6 |a| + |b|, (c) ||a| − |b|| 6 |a − b|, (d) |ab| = |a| |b|. Tõestus. Iseseisvalt!z Absoluutväärtuse abil saab konstrueerida reaalarvude hulga R lihtsa ja mugava geomeet- rilise mudeli – arvsirge. Olgu mingil sirgel fikseeritud kaks punkti, mis vastavad arvudele 0 ja 1. Suunda punkti 0 poolt punkti 1 poole loeme positiivseks, vastupidist suunda negatiiv- seks. Sirglõigu, mille otspunktideks on 0 ja 1, pikkuse loeme ühikuks. Arvu a puhul võtame
annaabi.ee 
