A n tiref lek s iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R ei s is alda paare is eendaga S üm m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R korral alati ka (b,a) R (a,b) ja (b,a)s ees A n tisü m m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R ja (b,a) R korral alati a= b ei tohi olla s ümmee tri lis i paare T ran s itiivs ek s , kui iga (a,b) R j a (b,c) R korral ka (a,c) R R efleks iivne on näiteks samas us relats ioon. D ef: relats ioon i, m is on ref lek s iivn e, s üm m eetrilin e ja tran s itiivn e n im etatak s e ek vivalen ts ik s . S amas us rel ats ioon s uvalis el hulgal A on ka ekvivalents ir elats ioon s ellel hulgal. N äide: O lgu hulgaks A täis arvude hulk j a olgu n pos itiivne täis arv. D efineeri me relats iooni R nii, et ta kehtib kahe täis arvu a j a b vahel paraj as ti s iis kui nende arvude (mõle ma te) jääk jagamis el arvuga n on s ama. S elline relats ioon on ekvivalen ts . H ulgateooria tões tataks e, et hulgal A mä äratud ekvivalents j agab hulga A
H ulgal A määratud relats iooni ni meta taks e R ef leks iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R A n tiref lek s iivs ek s , kui iga a A korral (a,a) R S üm m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R korral alati ka (b,a) R A n tisü m m eetrilis ek s , kui iga (a,b) R ja (b,a) R korral alati a= b T ran s itiivs ek s , kui iga (a,b) R j a (b,c) R korral ka (a,c) R R efleks iivne on näiteks samas us relats ioon. D ef: relats ioon i, m is on ref lek s iivn e, s üm m eetrilin e ja tran s itiivn e n im etatak s e ek vivalen ts ik s . S amas us rel ats ioon s uvalis el hulgal A on ka ekvivalents ir elats ioon s ellel hulgal. N äide: O lgu hulgaks A täis arvude hulk j a olgu n pos itiivne täis arv. D efineeri me relats iooni R nii, et ta kehtib kahe täis arvu a j a b vahel paraj as ti s iis kui nende arvude (mõle ma te) jääk jagamis el arvuga n on s ama. S elline relats ioon on ekvivalen ts . H ulgateooria tões tataks e, et hulgal A mä äratud ekvivalents j agab hulga A
2* n 2 = m 2 S eega m 2 on paaris arv j a eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 = 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 = 2* k 2 ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s aime et n ja m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga. S ee on aga vas tuolu tehtud eeldus ega et m ja n ei oma ühis t nime taj at. J äreldus on et 2 on irrats ionaalarv. Kon trap os itiivn e tões tus . Tea me et p-> q on s amaväärne ~p->~q. S eetõttu tões tame p-> q as emel , et ~p-> ~q. N äide: Kui n 2 on paaritu täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eelda me vas tuväitel is elt et n on paaris arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 = 4 * k 2 = 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4. Matemaatilise induktsiooni meetod P aramee trit s is aldavate väidete (predikaatide P(n)) tões ta mis eks kas utataks e s ageli mate ma at il is t indukts iooni.
Võta me eelneva s eos e ruutu s aame 2* n 2 m 2 S eega m 2 on paaris arv ja eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 2* k 2ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s ai me et n j a m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga. S ee on aga vas tuolu tehtud eeldus ega et m ja n ei oma ühis t nime taj at. J äreldus on et 2 on irrats ionaalarv. Kon trap os itiivn e tões tus . Teame et p-> q on s amaväärn e ~p-> ~q. S eetõttu tões tame p-> q as emel , et ~p-> ~q. N äide: Kui n 2 on paaritu täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eelda me vas tuväitel is elt et n on paaris arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 4 * k 2 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4. Matemaatilise induktsiooni meetod P aramee trit s is aldavate väidete (predikaatide P(n)) tões ta mis eks kas utataks e s ageli mate ma at il is t indukts iooni.
annaabi.ee 
