Kui n 2 on paaris täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eel dame vas tuväitel is elt et n on paaritu arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k+ 1 j a s eega n 2 = ( 2 * k + 1 )2 = 4 * k 2 + 4 * k + 1 = 4 * ( k 2 + k ) + 1 , paaritu arv, mis on vas tuolus mei e eeldus ega et n 2 on paaris arv. S eega peab n olema paaris arv. Teoreem: 2 on irrats ionaa larv Tões tus : O leta me vas tuväitelis e lt, et 2 ei ole irrats ionaalarv. S iis on 2 ras tionaalarv j a es itatav kahe täis arvu m j a n jagatis ena m 2= , n kus täis arvudel m j a n pole ühis tegureid. Võta me eelneva s eos e ruutu s aame 2* n 2 = m 2 S eega m 2 on paaris arv j a eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 = 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 = 2* k 2 ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s aime et n ja m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga
Kui n 2 on paaris täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eelda me vas tuväitel is elt et n on paaritu arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k+ 1 j a s eega n 2 ( 2 * k 1 )2 4 * k 2 4 * k 1 4 * ( k 2 k ) 1 , paaritu arv, mis on vas tuolus mei e eeldus ega et n 2 on paaris arv. S eega peab n ole ma paaris arv. Teoreem: 2 on irrats ionaa larv Tões tus : O leta me vas tuväitelis e lt, et 2 ei ole irrats ionaa larv. S iis on 2 ras tionaalarv j a es itatav kahe täis arvu m j a n j agatis ena m 2 , n kus täis arvudel m j a n pole ühis tegureid. Võta me eelneva s eos e ruutu s aame 2* n 2 m 2 S eega m 2 on paaris arv ja eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 2* k 2ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s ai me et n j a m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga
(kui tipus t a on kaar tippu b ja s ealt kaar tippu c, s iis tipus t a tippu c ots ekaart ei kas utata) - G raafi tipud korraldataks e nii et kaared on suunatud ülalt alla j a j äetaks e ära nooled N äide: O lgu hulk A ={ 1,2,3,4,6,9,12,18,36} ehk arv 36 kõigi j agaj ate hulk j a vaatle me s ellel j aguvus relats iooni, mis on mitt erange järj es tus . H as s e diagramm on es itatav kuj ul 36 12 8 18 6 4 9 2 3 1 Ü les an n e: O lgu hulk A ={ 1,2,3,9,18} ja vaatle me j aguvus relats iooni. K oos tada relats ioonid e es itamis eks s uunatud graaf ja H as s e diagramm. 4. Tehted relatsioonidega (R.Palm järgi) O lgu R j a S kaks relats iooni hulkade A ja B vahel. Relatsiooni R ja S ühend:
(kui tipus t a on kaar tippu b ja s ealt kaar tippu c, s iis tipus t a tippu c ots ekaart ei kas utata) - G raafi tipud korraldataks e nii et kaared on suunatud ülalt alla j a j äetaks e ära nooled N äide: O lgu hulk A ={ 1,2,3,4,6,9,12,18,36} ehk arv 36 kõigi j agaj ate hulk j a vaatle me s ellel j aguvus relats iooni, mis on mitt erange järj es tus . H as s e diagramm on es itatav kuj ul 36 12 8 18 6 4 9 2 3 1 Ü les an n e: O lgu hulk A ={ 1,2,3,9,18} ja vaatle me j aguvus relats iooni. K oos tada relats ioonid e es itamis eks s uunatud graaf ja H as s e diagramm. 4. Tehted relatsioonidega (R.Palm järgi) O lgu R j a S kaks relats iooni hulkade A ja B vahel. Relatsiooni R ja S ühend:
annaabi.ee 
