Kahekordse integraali geomeetriline sisu : Olgu ƒ(x,y)≥0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st єn →0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c ϵ R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4
tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st n 0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = (x,y)dxdy n 0 D 3. Kahekordse integraali omadusi. 1) [ (P) + g(P)] dS = (P)dS + g(P)dS D D D 2) C (P)dS = C (P)dS , kus C on konstant D D 3) Kui D= D1+D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis (P)dS = (P)dS + (P)dS
Seda valemit nimetatakse Newton-Leibniz’i valemiks. Määratu integraali ligikaune arutamine. Kvadratuurvalemid Newton-Leibniz’i valem arvutab küll määratud integraali täpselt, aga alati ei osutu selle valemi kasutamine võimalikuks, kuna kõikidel funktsioonidel ei pruugi leiduda piisavalt lihtne algfunktsioon. Niisugustel juhtudel on määratud integraali arvutamine arukas teha ligikaudselt. Kuna määratud integraal on integraalsumma piirväärtus, ehk võrdub ligikaudselt integraalsummaga: b n ∫ f ( x ) dx ≈ ∑ f ( ξ k ) ∆ x k a k=1 Määratud integraali ligikaudse arvutamise valemeid nimetatakse kvardratuurvalemiteks. Lihtsamaid kvadratuurvalemeid saab tuletada otseselt integraalsummast. Keskmine ristkülikvalem b−a Jaotame integreerimislõigu [ a ; b ] n võrdse pikkusega ∆ x= osaks
annaabi.ee 
