3): Tõkestatud funktsioon f : [a, b] → R on lõigus [a, b] integreeruv parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub selline alajaotus T0 ∈ , et S (T0) − s (T0) < ε. Tarvilikkus. Eeldame, et f on integreeruv, olgu ε > 0. Kuna I (f) = I ∗ (f) = sup {s (T) | T ∈ } , siis supreemumi definitsiooni kohaselt (vrd. lause 1.2) saab valida sellise T1 ∈ , et s (T1) > I (f) – ε/2 Analoogiliselt saame seose I (f) = I∗ (f) = inf {S (T) | T ∈ } põhjal infiimumi definitsiooni silmas pidades (vrd. lause 1.3) valida T 2 ∈ omadusega S (T2) < I (f) + ε/2 Moodustame uue alajaotuse T0 nii, et ta sisaldab mõlema alajaotuse T1 ja T2 jaotuspunktid, seega on T0 peenem nii jaotusest T1 kui ka jaotusest T2. Seetõttu lause 11.1 kohaselt s (T0) ≥ s (T1) > I (f) – ε/2 ja S (T0) ≤ S (T2) < I (f) + ε/2 Nende seoste põhjal S (T0) − s (T0) < I (f) + ε/2 − I (f) + ε/2 = ε. Piisavus. Olgu ε > 0 suvaliselt fikseeritud
> ab + (x0 − a) b + (y0 − b) a ε ε > ab − b − a = ab − ε 2b 2a 12 1 Reaalarvud (kontrollida!)z. Sellega on võrdus sup (X · Y ) = ab tõestatud. Märkus. Tingimusega (e) analoogne väide kehtib ka infiimumi jaoks: olgu X ja Y sellised hulgad, mille kõik elemendid on mittenegatiivsed, siis ka hulga X · Y elemendid on mittenegatiivsed ning inf(X · Y ) = inf X · inf Y. Tõestuse skeem on järgmine. Tähistame a = inf X ja b = inf Y . Vahetu kontroll annab, et ab 6 xy iga x ∈ X ja y ∈ Y korral. 1) Juhul a = 0 ja Y = {0} on X · Y = {0}. 2) Kui a = 0 ning leidub y0 ∈ Y nii, et y0 > 0, siis vastavalt igale positiivsele elemendile ε ∈ F leiame
annaabi.ee 
