S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 = 4 * k 2 = 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4. Matemaatilise induktsiooni meetod P aramee trit s is aldavate väidete (predikaatide P(n)) tões ta mis eks kas utataks e s ageli mate ma at il is t indukts iooni. Tões tada predikaat P (n) on tõene mit tenega tiivs e täis arvu n> = n0 j aoks . M atema ati line indekts ioon koos neb järgmis t es t s ammudes t : a) Tões tada et P(n0) on tõene (induks tiooni baas ) b) Eeldada et P (n) on tõene (induks tiooni hüpotees ) c) Tões tada, et P(n+ 1) on tõene (induks tiooni s amm) N äide: Tões tada mate ma at il is e induks iooni abil, et Tões tus : O lgu P (n)= 1+ 2+ 3+ ....+ n-1+ n a) P (1)= 1= 1*(1+ 1)/2= 1 b) P (n)= 1+ 2+ 3+ ...+ n-1+ n= n*(n+ 1)/2 c) P (n+ 1)= 1+ 2+ 3+ ...+ n-1+ n+ n+ 1= P (n)+ n+ 1= n*(n+ 1)/2+ n+ 1= (n+ 1)(n/2+ 1) P (n+ 1)= (n+ 1)(n+ 2)/2 a= 3 ja r= 2 : 3; 3*2; 3*2*2; 3*2 3 ;
S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 4 * k 2 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4. Matemaatilise induktsiooni meetod P aramee trit s is aldavate väidete (predikaatide P(n)) tões ta mis eks kas utataks e s ageli mate ma at il is t indukts iooni. Tões tada predikaat P (n) on tõene mit tenega tiivs e täis arvu n> = n0 j aoks . M atema ati line indekts ioon koos neb järgmis tes t s ammudes t : a) Tões tada et P (n0) on tõene (induks tiooni baas ) b) Eeldada et P (n) on tõene (induks tiooni hüpotees ) c) Tões tada, et P (n+ 1) on tõene (induks tiooni s amm) N äide: Tões tada mate ma at ilis e induks iooni abil, et Tões tus : O lgu P (n)= 1+ 2+ 3+ ....+ n-1+ n a) P (1)= 1= 1*(1+ 1)/2= 1 b) P (n)= 1+ 2+ 3+ ...+ n-1+ n= n*(n+ 1)/2 c) P (n+ 1)= 1+ 2+ 3+ ...+ n-1+ n+ n+ 1= P (n)+ n+ 1= n*(n+ 1)/2+ n+ 1= (n+ 1)(n/2+ 1) P (n+ 1)= (n+ 1)(n+ 2)/2 a= 3 ja r= 2 : 3; 3*2; 3*2*2; 3*2 3 ; Ü les anne 1
a) Ø b) { Ø} c) { a,{ a} ,{ a,{ a}} } a) | Ø |= 0 b) |{ Ø } |= 1 c) |{ a,{ a} ,{ a,{ a}} } |= 3 ................................. D ef: Hu lga A as tm eh u lgaks 2 A n im etatak s e s elle h u lga k õik i alam h ulk i k oos tü h ja hu lgaga. N 14: Leida hulga A = {a ,b ,c} as tmehulk ................P (A )= { Ø ,{ a} ,{ b} ,{ c} ,{ a,b} ,{ a,c} ,{ b,c} ,{ a,b,c}} ......... N 15: Tões tada induks tiooni me etodi l, et kui A =n s iis as tmehulgas on ele men te 2 n ). n= 0 s iis A= Ø j a P(A )={ Ø }1 el. mis on tühihulk |P (A )|= 1= 2 0 eelda me et kehtib n= k korral: A k ={ a1 , a2 ,..., ak } |P (A k )|= 2 k Tões ta me, et kehtin n= k+ 1 korral A k + 1 = { a1 , a2 ,..., ak , ak +1 } H ulgale A k + 1 vas tava as tmehu lga s aamis eks võtame hulgale A k vas tava
b) { Ø} c) { a,{ a} ,{ a,{ a}} } a) | Ø |= 0 b ) |{ Ø } |= 1 kui hulga s ees on tühihulk, s iis selle või ms us t loetaks e 1 c) |{ a,{ a} ,{ a,{ a}} } |= 3 ................................. D ef: Hu lga A as tm eh u lgaks 2 A n im etatak s e s elle h u lga k õik i alam h ulk i k oos tü h ja hu lgaga. N 14: Leida hulga A ={a ,b ,c} as tmehulk ................P (A )= { Ø ,{ a} ,{ b} ,{ c} ,{ a,b} ,{ a,c} ,{ b,c} ,{ a,b,c}} ......... N 15: Tões tada induks tiooni me etodi l, et kui A =n s iis as tmehulgas on ele men te 2 n ). n= 0 s iis A= Ø j a P(A )={ Ø } |P (A )|= 1= 2 0 eelda me et kehtib n= k korral: A k ={ a1 , a2 ,..., ak } |P (A k )|= 2 k Tões ta me, et kehtin n= k+ 1 korral A = {a, b, c, d } lis as ime d A k + 1 = { a1 , a2 ,..., ak , ak +1 } H ulgale A k + 1 vas tava as tmehu lga s aamis eks võtame hulgale A k vas tava
a1= a0+ 2= 1+ 2= 3 a2= a1+ 2= 3+ 2= 5 a3= 7 a4= 9 a5= 11 Lahend on: an= 2*n+ 1 (eel mis te põhj al kirj a pandud) Tões tus (indukts iooni abil) a) n =0 s iis a0 = 2*0+ 1= 1 O K . b) eelda me et kehtib n= k korral ak =2*k+ 1 c) tões tame, et kehtib n= k+ 1 korral ak +1 = ak + 2 = 2 * k +1 + 2 = 2 * ( k +1 ) + 1 O k. Ü les anne2: V atleme arit me eti lis t progres s iooni an = an-1 + d n> = 1 kus a0 on algväärtus . Leida vale m an arvutamis eks ja tões tada see induks iooni abil. Ü les anne3: V atleme geo meet ilis t progress iooni an = ran-1 n> = 1 kus a0 on algväärtus . Leida vale m an arvutamis eks ja tões tada see induks iooni abil. Teatud j uhtudel kus iterats ioon i rakenda mine pole efektiivn e on ka teis i me etode id rekurs iivs e valemi leid mis eks , s eda küll ena mas ti teatud konkreets e üles annete klas s i jaoks . N äiteks järj es tus tele mis on es itatavad kuj ul
a1= a0+ 2= 1+ 2= 3 a2= a1+ 2= 3+ 2= 5 a3= 7 a4= 9 a5= 11 Lahend on: an= 2*n+ 1 (eel mis te põhj al kirj a pandud) Tões tus (indukts iooni abil) a) n =0 s iis a0 = 2*0+ 1= 1 O K . b) eelda me et kehtib n= k korral ak =2*k+ 1 c) tões tame, et kehtib n= k+ 1 korral ak +1 = ak + 2 = 2 * k +1 + 2 = 2 * ( k +1 ) + 1 O k. Ü les anne2: V atleme arit me eti lis t progres s iooni an = an-1 + d n> = 1 kus a0 on algväärtus . Leida vale m an arvutamis eks ja tões tada see induks iooni abil. Ü les anne3: V atleme geo meet ilis t progress iooni an = ran-1 n> = 1 kus a0 on algväärtus . Leida vale m an arvutamis eks ja tões tada see induks iooni abil. Teatud j uhtudel kus iterats ioon i rakenda mine pole efektiivn e on ka teis i me etode id rekurs iivs e valemi leid mis eks , s eda küll ena mas ti teatud konkreets e üles annete klas s i jaoks . N äiteks järj es tus tele mis on es itatavad kuj ul
annaabi.ee 
