[40]. Tasandiline graaf. Euleri valem: seos tasandilise graafi tippude, servade ja tahkude arvude vahel. Eulri valemi rakendusi. [41]. Graafi tasandilisuse kriteeriumid. Kuratowski teoreem. [42]. Graafi tippude värvimise ülesanne. Brooksi teoreem (tõestuseta). [43]. Tasandilise lihtgraafi värvimine 6 ja 5 värviga. Neljavärviprobleem ja kaartide värvimine. I. OSA [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. Hulk on koosvaadeldavate objektide kogum. *Eristatakse kaht erinvat hulgateooriat: Naiivne hulgateooria- Naiivses hulgateoorias puudub kindel tugev aksiomaatika, ent ta on piisavalt efektiivne väga paljude lihtsamate vajaduste rahuldamiseks. Sageli õpetatakse matemaatikas esmalt naiivset hulgateooriat, kuna ta võimaldab inimesel paremini mõista hulga kontseptsiooni ning seda, miks aksioomid vajalikud on. Ka meie kasutasime kursuse raames naiivset hulgateooriat. Loojaks loetakse George Cantorit(19.saj.)
Loogikute hulgas on intuitsionism olnud suur ja oluline koolkond Brouwerist kuni tänase päevani. Intuitsionismile annab praktilise rakendusliku väärtuse asjaolu, et mingi objekti olemasolu intuitsionistlik tõestus annab alati algoritmi selle objekti tegelikuks konstrueerimiseks. Seetõttu saab intuitsionistlikku loogikat kasutada arvutiprogrammide automaatseks sünteesimiseks. 2.5.4 Formaalne süsteem: süntaks, reeglid ja semantika Russell ja Whitehead nimetasid loogikaks muuhulgas nii hulgateooriat kui endaleiutatud tüüpide teooriat. Sõna ``loogika'' tähendus oli neil küllaltki laialivalguv. Poola päritolu USA matemaatiku ja loogiku Alfred Tarski (1902-1983) ning Saksa-Austria-USA filosoofi, loogilise positivisti Rudolf Carnapi (1891-1970) tööd tõid udusesse pilti vajalikku selgust. Kuigi sõna ``loogika'' tähendusväli on jätkuvalt üpris avar ja ka kitsamas mõttes ei ole loogikud sugugi ühel
Kas leidub hulk X nii, et ¿ N¿X ¿R¿ ? Kontiinumi hüpotees: sellist hulka X ei leidu. Georg Cantor (1878): Ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui N , kuid vähem võimas kui R . Kurt Gödel (1940): Tavalisest aksiomaatikast lähtudes, ei saa tõestada, et vahepealseid võimsusi ei ole. Paul Cohen (1963): Vahepealsete võimsuste olemasolu, samuti mitteolemasolu ei ole vastuolus teiste aksioomidega. Lihtsustatult võib öelda, et saab vaadelda kahesugust hulgateooriat: üht, milles kontiinumi hüpotees kehtib, ja teist, milles kehtib kontiinumi hüpoteesi eitus. Eeldusel, et kontiinuumi hüpotees on tõene, defineeritakse 1 hulga R võimsusena. See 0 kardinaalarv on võimsuselt järgmine järel ja kehtib: c=2 =1 . 0 12
annaabi.ee 
