elemendi y originaaliks. Definitsioonis olevat hulka A nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulga A kõigi elementide kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni väärtuste piirkonnaks. Funktsiooni väärtuste piirkond kuulub hulka B. Olgu antud funktsioon f : AB Hulga UA kujutiseks nimetatakse hulka f(U)={yB: leidub x U, et y=f(x)}. Hulga VB originaaliks nimetatakse hulka f-1(V)={xA : f(x) V}. Funktsiooni f: AB nimetatakse · Injektiivseks ehk üksüheseks, kui iga elemendipaari x1, x2 A, x1x2 korral f(x1)f(x2). · Sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui igal elemendil hulgast B leidub originaal hulgas A. · Bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui funktsioon on korraga injektiivne ja sürjektiivne. Injektiivne funktsioon on selline, kus ühelgi elemendil hulgast B ei ole üle ühe originaali. Bijektiivne funktsioon on selline, kus igale elemendile hulgast B leidub täpselt üks originaal.
Sümmeetria iga a korral aRb => bRa (kõik seosed on vastastikused) Transitiivsus iga a korral aRb && bRc => aRc (põhimõtteliselt järjestusseos) Ekvivalentsiseoseks nimetatakse seost, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Elemendiga a (A element) ekvivalentsete elementide hulka nimetatakse a ekvivalentsiklassiks (hulgal A). Elemendiga a ekvivalentsete elementide hulka tähistatakse [a] = {b | aRb}, kus R on ekvivalentsiseos. Teoreem 1: Ekvivalentsiseos R hulgal A. Iga elemendipaari a ja b korral kehtib seos [a] = [b] või [a] ühisosa [b] on tühihulk. Tõestus: Kuna R on sümmeetriline ja transitiivne, näitame, et kui aRb ja suvaline element [a]-st on z, siis sümmeetria tõttu bRa ja aRz transitiivsuse järgi bRz ehk siis z kuulub [b]. Siit nähtub, et [b] on alamhulgaks [a]-le. Analoogselt tõestame, et [a] on alamhulgaks [b]-le. Kui not(aRb), eeldame vastuväiteliselt, et eksisteerib y, mis kuulub korraga nii [a] kui [b]. ehk aRy ja bRy
ja (x,w) ∈ R ◦ (S ◦ T ) on teineteisega samaväärsed. Tõepoolest, sisalduvus (x,w) ∈ (R ◦ S) ◦ T on kompositsiooni definitsiooni põhjal samaväärne tingimusega leidub z ∈ Z, et (x, z) ∈ R ◦ S ja (z,w) ∈ T, viimane aga samal põhjusel tingimusega leiduvad z ∈ Z ning y ∈ Y , et (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ S ja (z,w) ∈ T . Siin võime kombineerida kaks viimast elemendipaari kompositsiooni definitsiooni abil ja kirjutada tingimuse kujul leidub y ∈ Y , et (x, y) ∈ R ja (y,w) ∈ S ◦ T , see aga tähendabki, et (x,w) ∈ R◦(S ◦T ). Et kõik teisendussammud säilitavad samaväärsuse, siis on vaadeldavad kaks sisalduvust tõesti teineteisega samaväärsed. 29. Kompositsiooni pöördrelatsioon (tõestusega). Kompositsiooni seosed ühendi ja ühisosaga (**tõestused). [2] Kompositsiooni pöördrelatsioon o Teoreem 3
annaabi.ee 
