Tõestus. Tõestuseks on järgmised samaväärsuste ahelad: i. (,)()-1 (,) (,)(,) (,)-1(,)-1 (,)-1(,)-1 (,)-1-1. ii. (,) () (,)(,) (,)(,)(,) (,)(,) (,)(). Ekvivalentsusseos Olgu suvaline mittetühi hulk. Seost hulgal nimetatakse ekvivalentsusseoseks, kui ta on i. refleksiivne, s.t. kui ; ii. sümmeetriline, s.t. kui ; iii. transitiivne, s.t. kui . Kui on ekvivalentsusseos ja , siis öeldakse, et elemendid ja on ekvivalentsed (seose järgi). Sageli väljendatakse ekvivalentsiseost kirjutades ka . Näide 6. Võrdsusseos = on ilmselt ekvivalentsuseos suvalisel hulgal . Tegemist on ühikseosega =={(,) | }×, mida mõnikord nimetatakse ka hulga 2 diagonaaliks. Ühikseos ehk võrdusseos on kõige kitsam ekvivalentsusseos, sest ta on iga ekvivalentsusseose (kui refleksiivse seose) osahulk. Ka seos =× on ekvivalentsusseos hulgal (nn universaalne seos). Seoseid ja nimetatakse triviaalseteks seosteks hulgal A. Näide 7
x ∈ X ekvivalentsetest ruumi X punktidest. Hulga X ja tema faktorhulgaga X/σ saab seostada alati nn. loomuliku kuju- tuse f : X −→ X/σ, kus f (x) = [x] ehk f −1 ([x]) = [x] ⊂ X. Faktorhulk X/σ muutub topoloogiliseks ruumiks, kui temas vaadelda topoloogia T kujutist T f . Definitsioon 5.4 Topoloogilist ruumi (X/σ, T f ) nimeta- takse ruumi X faktorruumiks (ekvivalentsiseose σ j¨argi). N¨aide 5.7 Olgu X topoloogiline ruum ja A ⊂ X. Hul- gal X saab vaadelda ekvivalentsiseost σA , milles alamhulga A k˜oik elemendid on omavahel ekvivalentsed ja alamhulka A mittekuuluvad elemendid on ekvivalentsed ainult iseendaga. Tekib faktorruum X/σA = {A} ∪ { {x} | x ∈ X A }, mille punktideks on [a] = A ja u ¨heelemendilised hulgad [x] = {x}, kus a ∈ A ja x ∈ X A. Saadud topoloogilise ruu- mi X/σA kohta ¨oeldakse, et ta on saadud ruumist X selle alamhulga A punktide kokkukleepimise teel (ruumis X/σA
annaabi.ee 
