Abeli esimene auahne üritus oli katse lahendada üldist viienda astme võrrandit.Kõik tema eelkäijad algebra alal olid näinud selle kallal asjatult vaeva.Ta oli väga rõõmus kui arvas,et ta on leidnud lahenduse.Ei tema matemaatka õpetaja ega ülikooli matemaatikaprofessor ei leidnud Abeli arvutustes vigu ega tema arutlustes ebatäpsusi.Kuna teadustöö avaldamine polnud Oslos võimalik,soovitati saata oma tööd Taani matemaatikule Ferdinand Degenile palvega soovitada see avaldada Taani Teaduste Akadeemia väljaannetes.Degen oli hea matemaatik ning ka tema ei leidnud Niels Henriku töös vigu. Hiljem hakkas Abel lahendama viienda astme võrrandeid,siis algaski Abeli tõsine huvi matemaatika vastu.Ikka uuesti tuli ta selle küsimuse juurde tagasi kuni jõudis lõpuks järeldusele,et sellist lahendust radikaalides pole lihtsalt olemas.Nii arvasid ka teised matemaatikud
astme algebralised võrrandid ei ole radikaalides lahenduvad (tuntud Abel-Ruffini teooremina). Radikaalid on matemaatikas nii juuremärk kui ka juurimise tulemus. Ülikoolis käis ta raamatukogus matemaatikaraamatuid uurimas ja ta uskus, et ta leidis üldise viienda astme algebralise võrrandi lahenduse, mida matemaatikud olid 250 aastat otsinud. Kooli matemaatikaprofessorid ei leidnud selles ühtegi viga ning saatsid selle edasi Kopenhaagenisse professor Ferdinand Degenile. Ka tema ei leidnud ühtegi viga, kuigi ta kahtles, et tundmatu üliõpilane suutis lahendada probleemi, mida matemaatikud ei olnud osanud 250 aastat. Peale matemaatika olid Niels Abeli hinded ülikooli tunnistusel keskmised. Abel-Ruffini teoreemi tõestus on võrdlemisi keeruline, nõudes korpuste teooria ja rühmateooria tundmist. Juba 16. sajandil oli tõestatud, et teise, kolmanda ja neljanda astme algebralised võrrandid on radikaalides lahenduvad. Niels Abel uuris neid ja
annaabi.ee 
