vaja int-da f-ni: alati saab asendust kasutada lihtsustamiseks; f ( az +b) dz => x =az+b, dx =(az+b)dz , dx=adz=>dz=1/adx=> f (az +b)dz = f ( x)1 / adx =1 / a f ( x)dx 27. Ositi int-mine U=u(x), v=v(x); d(uv)=(uv)'dx=(u'v+v'u)dx=(u'dx)v+u(v'dx)=vdu+udv=> udv= d(uv)-vdu; udv = d (uv) - vdu = uv - vdu *I Pn(x)sinx, Pn(x)cosx, Pn(x)ex=> u=Pn(x) *II f(x) sisaldab arkusf-ni või logaritmf-ni. F-niks tuleb valida u=u(x) *NT x sin xdx =>u=sinx, ülejäänd dv=xdx, arv du=(sinx)'dx=cosxdx ja v= xdx =x2/2, läks raskemaks, seega valida u=x *Märkused 1)F-ni valik 2) ositi int-misvalemit saab kasut korduvalt 3)teatud juhtudel toob ositi integ rakendus meid otsitava int leidmisel võrrandini: nt sin xdx =lõpuks 1/2(x-sinxcosx+C) 2 28.Murdrats. f-ni omadusi F(x)=Pn(x)/Qm(x); Pn(x)=a0xn+a1xn-1...+an-1x+an; Qm(x)=b0xm+b1xm-1...+bm-1x +bm *Def. kui meil n m, siis me ütleme, et meil on mittekorrapärane murdrats f-n.
f(x)dx = F(x) + C , C - konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4. a x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. sinx dx = -cosx + C. 6. cosxdx = sinx + C. 7.dx /cos2 x = tanx + C. 8. dx /sin2 x = -cotx + C. 9. dx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: dx /1+x2 = arctanx + C. 10.dx / k2-x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.[f(x) ± g(x)]dx =f(x)dx ±g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See t¨ahendab, et [f(x)g(x)]dx f(x)dx · g(x)dx ja [f(x) : g(x)]dx f(x)dx : g(x)dx. 2. af(x)dx = a f(x)dx, kus a on konstant. 3
üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). Integraalide tabel 1. dx=x+C 2.=+1+1+, -1 3. dx ax =ln |x|+C 4. a x dx = +C , kus a> 0, a 1 5. sinxdx=-cosx+C x lna dx dx 6. cosxdx=sinx+C 7. =tanx+C 8. =-cotx+C cos ² x sin ² x dx 1 x dx x 9. = arctan + C 10. =arcsin +C 2 k +x 2 k k k -x 2 2 k Määramata integraali omadused 1
annaabi.ee 
