Siis T′′ on peenem mõlemast alajaotustest T ja T′, mistõttu omadusest 11.1 saame võrratused s (T′) ≤ s (T′′) ≤ S (T′′) ≤ S (T) . Lause on tõestatud. Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja (Darboux' mõttes) integreeruvad funktsioonid Iga ülemsumma S (T) on kõigi alamsummade hulga {s (T) | T ∈ } ülemine tõke. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {s (T) | T ∈ } =: I∗ (f) , arvu I∗ (f) nimetatakse funktsiooni f Darboux' alamintegraaliks. Kuna arv I ∗ (f) on hulga {s (T) | T ∈ } vähim ülemine tõke, siis I∗ (f) ≤ S (T) suvalise alajaotuse T ∈ korral. Niisiis, I∗ (f) on hulga {S (T) | T ∈ } alumine tõke. Seega on see hulk alt tõkestatud, mistõttu tal leidub alumine raja I∗ (f) := inf {S (T) | T ∈ }, seda nimetatakse funktsiooni f Darboux' ülemintegraaliks. Alumine raja kui suurim alumine tõke ei saa olla väiksem alumisest tõkkest I∗ (f), j¨arelikult I∗ (f) ≤ I∗ (f) .
(selgitada!)z. 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium Omadusest 5.4 järeldub, et tõkestatud funktsiooni f : [a, b] → R suvaline ülemsumma S (T ) on kõigi alamsummade hulga {s (T ) | T ∈ T} ülemine tõke. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {s (T ) | T ∈ T} =: I∗ , (5.8) arvu I∗ nimetatakse funktsiooni f Darboux’ alamintegraaliks (lower Darboux integral, нижний интеграл Дарбу). Kuna I∗ 6 S (T ) suvalise alajaotuse T korral (põhjendada!)z, siis I ∗ := inf {S (T ) | T ∈ T} > I∗ (põhjendada!)z. Arvu I ∗ nimetatakse funktsiooni f Darboux’ ülemintegraaliks. Niisiis, lõigu [a, b] suvalise alajaotuse T puhul kehtivad võrratused s (T ) 6 I∗ 6 I ∗ 6 S (T ) . (5.9)
annaabi.ee 
