t. suvaliste T, T′ ∈ korral s (T′) ≤ S (T) . Tõestus. Olgu T ja T′ lõigu [a, b] kaks suvalist alajaotust, moodustame kolmanda alajaotuse T′′ nii, et selle jaotuspunktideks on parajasti kõik jaotustesse T ja T′ kuuluvad jaotuspunktid. Siis T′′ on peenem mõlemast alajaotustest T ja T′, mistõttu omadusest 11.1 saame võrratused s (T′) ≤ s (T′′) ≤ S (T′′) ≤ S (T) . Lause on tõestatud. Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja (Darboux' mõttes) integreeruvad funktsioonid Iga ülemsumma S (T) on kõigi alamsummade hulga {s (T) | T ∈ } ülemine tõke. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {s (T) | T ∈ } =: I∗ (f) , arvu I∗ (f) nimetatakse funktsiooni f Darboux' alamintegraaliks. Kuna arv I ∗ (f) on hulga {s (T) | T ∈ } vähim ülemine tõke, siis I∗ (f) ≤ S (T) suvalise alajaotuse T ∈ korral. Niisiis, I∗ (f) on hulga {S (T) | T ∈ } alumine tõke
5.1 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Riemanni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107 4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.1 Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.2 Integraali tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.3 Integraali monotoonsusomadused . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
