Xij abil. Valem (4.5) saab n¨uu¨d kuju |X| = xi1 Xi1 + xi2 Xi2 + . . . + xin Xin . (4.6) 38 Vastav valem i-nda veeru fikseerimisel on |X| = x1i X1i + x2i X2i + . . . + xin Xin . (4.7) Valemeid (4.6) ja (4.7) nimetatakse determinandi |X| arendisteks vastavalt i-nda rea ja i-nda veeru j¨ argi. Kahe viimase valemi t¨ahtsus seineb selles, et avaldiste paremal pool on algebraliste t¨aiendite j¨ark u ¨he v~orra v¨aiksem kui maatriksi X j¨ark. Veel meeldivam on valemite (4.6) v~oi (4.7) rakendamine, kui vastavalt maatriksi X i-nda rea v~oi i-nda veeru elementide seas on v~oimalikult palju nulle. Viimane on saavutatav, rakendades eelnevalt determinandi omadusi. 39 5. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTISE DETERMINANDIST Teoreem 5.1
Xij abil. Valem (4.5) saab n¨uu¨d kuju |X| = xi1 Xi1 + xi2 Xi2 + . . . + xin Xin . (4.6) 38 Vastav valem i-nda veeru fikseerimisel on |X| = x1i X1i + x2i X2i + . . . + xin Xin . (4.7) Valemeid (4.6) ja (4.7) nimetatakse determinandi |X| arendisteks vastavalt i-nda rea ja i-nda veeru j¨ argi. Kahe viimase valemi t¨ahtsus seineb selles, et avaldiste paremal pool on algebraliste t¨aiendite j¨ark u ¨he v˜orra v¨aiksem kui maatriksi X j¨ark. Veel meeldivam on valemite (4.6) v˜oi (4.7) rakendamine, kui vastavalt maatriksi X i-nda rea v˜oi i-nda veeru elementide seas on v˜oimalikult palju nulle. Viimane on saavutatav, rakendades eelnevalt determinandi omadusi. 39 5. TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTISE DETERMINANDIST Teoreem 5.1
T¨ahistame G = int(X A). Siis G on hulk ruumist X, mille korral A ⊂ X G ⊂ cl(A). Siit hulga X G kinnisuse ning omaduse 10 t˜ottu cl(A) = X G, G = X cl(A) ehk int(X A) = X cl(A). T¨ahistame F = cl(X A). Siis F on kinnine hulk ruumist X, mis seoste (3.1) t˜ottu rahuldab seoseid int(A) ⊂ X F ⊂ A. Hulga X F lahtisuse ja teoreemi 3.1 omaduse 3.1 t˜ottu X F = int(A), F = X int(A) ehk X int(A) = cl(X A). Omadus 60 on t˜oestatud. 70 Kasutades t¨aiendite v˜otmise reegleid (vt. Morgani reeg- leid), teoreemi 3.1 omadust 60 ja k¨aesoleva teoreemi omadust 60 , saame cl(A ∪ B) = X (X cl(A ∪ B)) = X int(X (A ∪ B)) = = X int((X A)∩(X B)) = X (int(X A)∩int(X B)) = = (X int(X A)) ∪ (X int(X B)) = = cl(X (X A)) ∪ cl(X (X B)) = cl(A) ∪ cl(B). Teoreem 3.12 Kui hulga X igale alamhulgale A on vastavusse pandud hulk A ∈ P(X) nii, et on t¨ aidetud n˜
annaabi.ee 
