ja j-s rida u ¨hesugused. Samas i = j korral |Ai(j) | = |A|. Seega |Ai(j) | = |A|ij . (6.3) Arendame determinanti |Ai(j) | n¨ uu¨d j-nda rea j¨argi. Valemi (4.6) abil praegu saame |Ai(j) | = ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn . (6.4) Siin on vaja r~ohutada, et iga i korral on j-nda rea elementide algebralised t¨aiendid u ¨hesugused, nimelt maatriksi A j-nda rea omad. V~orreldes n¨ uu¨d valemeid (6.3) ja (6.4) ja kasutades (1.4), saame ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn = |A|ij , i, j Nn . (6.5) Lugejal palume t~oestada, et kui kirjaldatud m~ottek¨ aigud viime l¨abi j-nda veeru jaoks, me saame a1i A1j + a2i A2j + . . . + ani Anj = |A|ij , i, j Nn . (6.6) Valemeid (6.5) ja (6
ja j-s rida u ¨hesugused. Samas i = j korral |Ai(j) | = |A|. Seega |Ai(j) | = |A|δij . (6.3) Arendame determinanti |Ai(j) | n¨ uu¨d j-nda rea j¨argi. Valemi (4.6) abil praegu saame |Ai(j) | = ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn . (6.4) Siin on vaja r˜ohutada, et iga i korral on j-nda rea elementide algebralised t¨aiendid u ¨hesugused, nimelt maatriksi A j-nda rea omad. V˜orreldes n¨ uu¨d valemeid (6.3) ja (6.4) ja kasutades (1.4), saame ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn = |A|δij , ∀ i, j ∈ Nn . (6.5) Lugejal palume t˜oestada, et kui kirjaldatud m˜ottek¨ aigud viime l¨abi j-nda veeru jaoks, me saame a1i A1j + a2i A2j + . . . + ani Anj = |A|δij , ∀ i, j ∈ Nn . (6.6) Valemeid (6.5) ja (6
et ruumi X igast loenduvast lahtisest kattest saab eraldada l˜opliku osakatte. Olgu A = { Ai | i ∈ N } ruumi X lahtine kate. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et ruumi X kattest A ei saa eraldada l˜oplikku osakatet. Siis iga n ∈ N korral X = ∪ni=1 Ai ja Fn = X (∪ni=1 Ai ) = ∩ni=1 (X Ai ) = ∅, kusjuures F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . . (7.8) Hulgad X Ai on kinnised kui lahtiste hulkade t¨aiendid. See- p¨arast on ka hulgad Fn kinnised. N¨aitame, et ∩∞ i=1 Fn = ∅. (7.9) Jada F = {Fn }n∈N puhul on kaks v˜oimalust: 1) leidub indeks n0 nii, et Fn = Fn0 iga n ≥ n0 korral; 2) jadas F leidub l˜opmatu palju erinevaid hulki. Juhul 1) tingimus (7.9) ilmselt kehtib. Juhul 2) leiduvad sellised indeksid k((1), k(2), . . . , et k(1) < k(2) < . . . , Fk(1) = Fk(2) =
annaabi.ee 
