Abivalemid RUUTUDE VAHE: (a+b) (a-b) = a +ab-ab+b =a2-b2 2 2 (a+b) (a-b) = a2-b2 NÄIDE: 16-a 2 = 4 2 -a 2 = (4+a) (4-a) SUMMA RUUT: (a+b) = (a+b) (a+b) = a +ab+ba+b2 = a2+2ab+b2 2 2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 NÄIDE: (7x+4y) 2 = (7x) 2 +2(7x)(4y)+(4y) 2 = 49x 2 +56xy+16y 2 VAHE RUUT: (a-b) = (a-b) (a-b) = a -ab-ba+b2 = a2-2ab+b2 2 2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 NÄIDE: (3a-b) 2 = (3a) 2 -2(3a)b+b 2 = 9a 2 -6ab+b 2 KUUPIDE SUMMA: (a+b) (a - ab+b ) = a - a b+ab2+ba2- ab2+b3 = a3+ b3 2 2 3 2 (a+b) (a2- ab+b2) = a3+ b NÄIDE: (a+3)(a 2 -3a+9) = a 3 +3 3 = a 3 +27 ...
: Summa ruut (a+b)²=a²+2ab+b² Vahe ruut (a-b)²=a²-2ab+b² Ruutude vahe (a+b)(a-b)=a²-b² Summa kuup (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Vahe kuup (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Kuupide vahe a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) Kuupide summa a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + b )( a − ab + b ) 3 3 a a − b b = ( a ) − ( b ) = ( a − b )( a + ab + b ) 3 3 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest Näide 1. Lahutada teguriteks x 2 − 4 xy + 4 y 2 . Lahendus. Kasutame abivalemit a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) 2 ning saame x 2 − 4 xy + 4 y 2 = ( x − 2 y ) . 2 Näide 2. Lahutada teguriteks 25c 2 − 81 . Lahendus. Kasutame abivalemit a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) ning saame 25c 2 − 81 = ( 5c − 9 )( 5c + 9 ) .
p¨o¨ordmaatriksite paar. Valemi (6.1) t~ottu kehtivad AB = E, BA = E; AC = E, CA = E. (6.2) 43 Maatriksite korrutamise assotsiatiivsuse kohaselt (vt. (1.21)) (BA)C = B(AC), millest (6.2) abil saame EC = BE = C = B. Seega omadus 6.3 on t~oestatud. Enne kui lahendame p¨o¨ordmaatriksi probleemi l~oplikult, tuletame kaks abivalemit. Moodustame n-j¨arku maatriksi A abil iga j Nn korral n uut maatriksit Ai(j) , kus i Nn . Maatriks Ai(j) saadakse maatrisist A j-nda rea muutmise teel. Nimelt j-ndasse ritta kirjutatakse i-nda rea elemendid. Juhul kui i = j on |Ai(j) | = 0, sest maatriksil Ai(j) on i-s ja j-s rida u ¨hesugused. Samas i = j korral |Ai(j) | = |A|. Seega |Ai(j) | = |A|ij . (6.3) Arendame determinanti |Ai(j) | n¨
p¨o¨ordmaatriksite paar. Valemi (6.1) t˜ottu kehtivad AB = E, BA = E; AC = E, CA = E. (6.2) 43 Maatriksite korrutamise assotsiatiivsuse kohaselt (vt. (1.21)) (BA)C = B(AC), millest (6.2) abil saame EC = BE =⇒ C = B. Seega omadus 6.3 on t˜oestatud. ♠ Enne kui lahendame p¨o¨ordmaatriksi probleemi l˜oplikult, tuletame kaks abivalemit. Moodustame n-j¨arku maatriksi A abil iga j ∈ Nn korral n uut maatriksit Ai(j) , kus i ∈ Nn . Maatriks Ai(j) saadakse maatrisist A j-nda rea muutmise teel. Nimelt j-ndasse ritta kirjutatakse i-nda rea elemendid. Juhul kui i = j on |Ai(j) | = 0, sest maatriksil Ai(j) on i-s ja j-s rida u ¨hesugused. Samas i = j korral |Ai(j) | = |A|. Seega |Ai(j) | = |A|δij . (6.3) Arendame determinanti |Ai(j) | n¨
annaabi.ee 
