Keskkooli lõpueksam (2008) (26)

2007. aasta matemaatika
riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti)
Ülesannete tekstid
1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2
x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 3. 2
9x 2 4 1 2 III Antud on avaldis , kus x 0 ja x . (3 x 2) 2 (3 x) 0 3 1) Lihtsustage see avaldis. 1 2) Arvutage avaldise väärtus täpsusega 10 3 , kui x 5 2.
Vastused
x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2
Näpunäited
Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) .
2 3 Lahendused
I
1 5x 1 5x x 2 (1 5 x) x2 1) = = = . x 2 25 x 2 x 0 1 2 (5 x 1)(5 x 1) 5 x 1 (25 x 1) x2 3
2) Kui x = 2 2 , siis avaldise väärtus on 3 (2 2 ) 2 8 8 3 1 0,61. 10 2 1 5 2 2 1 5 2 2 2 1
III 9x 2 4 1 (3 x 2)(3 x 2) 1 3x 2 3x 2 3x 2 4 1) = 1 . (3 x 2) 2 (3 x) 0 (3 x 2) 2 1 3x 2 3x 2 3x 2
2) Kui x = 5 2 , siis avaldise väärtus on 4 4 4 4 4 25 100 1,887 . 3 5 2 2 1 3 53 53 53 3 2 2 25 25 25
Kommentaarid
Juuresolevates lahendustes on esmalt leitud lihtsustamisel saadud avaldiste täpsed väärtused ning seejärel ligikaudsed väärtused etteantud täpsusega. Kuna ülesandes täpseid väärtusi ei küsitud, siis võib kalkulaatoriga teha kõik tehted järjest, vahepealseid tulemusi fikseerimata.
3 4 2. ÜLESANNE (5 punkti)
Ülesannete tekstid
I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised.
II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged.
III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine; 2) võttes kummastki urnist juhuslikult ühe kuuli, on mõlemad kuulid sinised.
Vastused
3 1 9 3 3 9 I 1) ; 2) . II 1) ; 2) . III 1) ; 2) . 8 8 16 10 8 56
Näpunäited
Esimeses alaülesandes on tegemist lihtsündmusega. Lihtsündmuse tõenäosus on määratud soodsate elementaarsündmuste arvu suhtega kõikide elementaarsündmuste arvusse. Teises alaülesandes on tegemist liitsündmusega. Kõigepealt tuleb selgeks teha, kas on tegemist sündmuste korrutisega või sündmuste summaga , teiste sõnadega, kas on vaja rakendada tõenäosuste korrutamise või liitmise lauset. Tõenäosuste korrutamise lause puhul on oluline teada, kas korrutatavad sündmused on sõltumatud või mitte. Tõenäosuste liitmise lause korral peab teadma, kas liidetavad sündmused on üksteist välistavad või mitte.
Lahendused
I 1) Olgu urnist rohelise kuuli võtmine sündmus A. m P( A) , kus n on kõigi võimaluste arv ja m ­ soodsate võimaluste arv. n Karbis on 16 kuuli, järelikult ühe kuuli võtmiseks on 16 võimalust, seega n = 16. Karbis on 6 rohelist kuuli, seega soodsaid juhuseid rohelise kuuli saamiseks on 6, seega m = 6. 6 3 Järelikult P ( A) = . 16 8
2) Tähistame sündmused järgmiselt: A ­ rohelise kuuli tulek kahe kuuli korraga või järgemööda võtmisel, A1 - rohelise kuuli tulek esimesel võtmisel, A2 - rohelise kuuli tulek teisel võtmisel.
4 5 Küsitakse kahe korraga või järgemööda toimuva sündmuse tõenäosust, järelikult tuleb kasutada tõenäosuste korrutamise lauset. Kahe kuuli korraga võtmist võib vaadelda kui kuulide järgemööda võtmist, kui esimesena võetud kuuli enne teise kuuli võtmist urni tagasi ei panda. Seega sündmuse A2 tõenäosus tuleb arvutada tingimusel,