ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS
Meie järgnev eesmärk on defineerida arv π kui kahekordne koosinusfunktsiooni vähimast
positiivsest nullkohast ning veenduda, et π käitub trigonomeetriliste funktsioonide seisuko-
halt nii, nagu koolis õpitud.
Oletame, et iga x > 0 korral cos x 6= 0, siis iga x > 0 korral cos x > 0 (miks?)z. Seega
on siinus rangelt kasvav intervallis [0, ∞), järelikult
R ypositiivne (selgitage!)z. Nüüd saame,
et niipea, kui 0 < x < y, kehtib (sin x)(y − x) < x sin t dt = cos x − cos y 6 1. Vastuolu
(miks?)z. Seega leidub x > 0 nii, et cos x = 0.
Olgu T = {x > 0 : cos x = 0}. Et hulk T on alt tõkestatud, leidub tal alumine raja x0 .
Nüüd leidub jada (xn ) elementidega hulgast T nii, et limn xn = x0 (miks?)z. Seega x0 ∈ T
(põhjendage!)z.
Tähistame π = 2x0 . Nüüd sin π2 = ±1; tänu sellele, et koosinus on positiivne vahemikus
annaabi.ee 
