Diskreetse matemaatika elemendid, eksami konspekt
i. Kui kehtib xRy, siis [x]R = [y]R,
ii. Kui xRy ei kehti, siis [x]R [y]R = ,
iii. Ekvivalentsiklasside ühend on hulk X.
Tõestus.
1) Kehtigu xRy. Vastavate ekvivalentsiklasside võrduse näitamiseks näitame,
et kumbki on teise alamhulk. Olgu z [x]R. Näitame, et siis ka z [y]R.
Ekvivalentsiklassi definitsioonist saame z kohta xRz. Relatsiooni R
sümmeetrilisuse tõttu saame väite 1) eeldusest yRx. Relatsioon R
transitiivsus annab nüüd yRz, seega z [y]R. Analoogiliselt saab tõestada
vastupidise kuulumise.
2) Oletame vastuväiteliselt, et klasside ühisosa ei ole tühi. Siis leidub selline z,
et z [x]R ja z [y]R. Ekvivalentsiklassi definitsiooni rakendades saame
xRz ja yRz. Relatsiooni R sümmeetrilisusest saame zRy ja transitiivsust
annaabi.ee 
