"xnkj" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

n→∞ n→∞ (selgitage detaile!)z. Tõestus „osajadade keeles“. Olgu jada (xn + yn ) osajada (xnk + ynk )∞ k=1 selline, et lim (xnk + ynk ) = lim (xn + yn ) (miks osajada leidub?)z. Kuna jada (xnk ) on tõkestatud, k→∞ n→∞ siis  tal ∞leidub Bolzano–Weierstrassi teoreemi (vt. teoreemi   2.14) kohaselt koonduv osajada xnkj . Et ynkj = (xnkj + ynkj ) − xnkj , siis ka ynkj on koonduv jada (selgitage!)z. j=1 Kokkuvõttes jada piirväärtuse monotoonsuse tõttu (vt. omadust 2.4) kehtib lim xn + lim yn 6 lim xnkj + lim ynkj = lim (xnkj + ynkj ) = lim (xn + yn ). n→∞ n→∞ j→∞ j→∞ j→∞ n→∞ Teoreem 2.26 Arvjadal (xn )∞ n=1 eksisteerib piirväärtus parajasti siis, kui selle jada alumine