ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS
vastuväiteliselt, et a ei ole selle jada piirväärtus. Sel juhul leidub selline ε > 0, et xn ∈
/ Uε (a)
lõpmata paljude indeksite n korral (selgitada!)z. Tähendab, lõpmata paljude indeksite n
korral kas xn 6 a − ε või xn > a + ε.
Esimesel juhul eksisteerib osajada (xnk ) omadusega xnk 6 a − ε, sellest saab Bolzano-
Weierstrassi teoreemi kohaselt moodustada koonduva osajada xnki . Olgu c := lim xnki ,
i→∞
siis c 6 a − ε < a (selgitada!)z. Teisalt on c jada (xn ) osapiirväärtus, mistõttu c = a. Saime
vastuolu.
Analoogiliselt jõutakse vastuoluni, kui eeldada võrratust xn > a + ε lõpmata paljude
indeksite n korral (veenduda!)z. Seega on meie vastuväiteline oletus, et a ei ole jada (xn )
piirväärtus, väär.
annaabi.ee 
