"uhjal" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Kui ruumi X sidusate komponentide arv on l˜oplik, siis on kerge veenduda, et iga sidususe komponent on ka lahtine hulk ruumis X. 8.2 Sidusad hulgad arvteljel Vaatleme reaalarvude hulka R tema loomuliku topoloogiaga ja leiame tema k˜oik sidusad alamhulgad. Seejuures kasu- tame reaalarvude hulga j¨argmist u ¨ldtuntud omadust (nn pi- devuse aksioomi): hulga R iga u ¨lalt t˜okestatud mittet¨ uhjal alamhulgal A leidub u ¨lemine raja sup A, st v¨ahim u ¨lemine t˜oke. Samuti leidub hulga R igal alt t˜okestatud mittet¨uhjal alamhulgal A alumine raja inf A, st suurim alumine t˜oke. Teoreem 8.39 L˜oigud [a; b], pooll˜ oigud [a; b[, ]a; b] ja vahemi- kud ]a; b[ (lubatud on ka l˜opmatud pooll˜ oigud ja vahemikud) on sidusad hulgad ruumis R. T˜oestus. Olgu A kas l˜oik, pooll˜oik v˜oi vahemik ruumis R.