"uhjadeks" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Valime c ∈ B ja d ∈ C. ¨ Uldsust kitsendamata v˜oib eeldada, et c < d. Moodustame arvuhulga D = { g ∈ A | [c; g] ⊂ B }. Hulk D on u¨lalt t˜okestatud arvuga d ∈ A ning seet˜ottu leidub ¨lemine raja h = sup D, mis samuti kuulub hulka A, h ∈ tal u A. Arvu h igas u ¨mbruses peab leiduma siis nii hulga B kui ka hulga C punkte, st h ∈ cl(B) ∩ cl(C) = B ∩ C. See on vastuolus eeldusega B ∩ C = ∅. J¨arelikult on hulk A sidus. Teoreem 8.40 Mittet¨ uhjadeks sidusateks hulkadeks ruumis R on parajasti l˜oigud, pooll˜oigud ja vahemikud (ka l˜ opmatud). T˜oestus. Teoreemis 8.5 n¨aidati, et l˜oigud, pooll˜oigud ja vahemikud on sidusad hulgad arvteljel. Siin tuleb n¨aidata, et iga mittet¨uhi sidus hulk A ruumis R avaldub kujul A = < d; c >. Olgu A mittet¨ uhi sidus hulk ruumis R. Fikseerime a ∈ A ja moodustame arvuhulga B = { b ∈ R | [a; b] ⊂ A; a ≤ b } ⊂ A.