"topoloogilisest" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

cl(A) int(A) ⊂ ∂A. Vastupidi, kui x ∈ ∂A, siis punkti x iga u¨mbrus sisaldab nii hulga A punkte kui ka hulka A mittekuuluvaid punkte, st x ∈ cl(A), x ∈ int(A) ja x ∈ cl(A) int(A). J¨arelikult ∂A ⊂ cl(A) int(A) ning varem saadud vastupidise sisalduvuse t˜ottu ∂A = cl(A) int(A). Definitsioon 3.8 Hulga A k˜oigi rajapunktide hulka ∂A nimetatakse hulga A rajaks. ¨ 3.4 Ulesandeid 3.1 Tuua n¨aide topoloogilisest ruumist X ja tema alamhul- gast A nii, et ∂A = X. 3.2 T˜oestada, et topoloogilise ruumi X alamhulga A raja ∂A on kinnine hulk ruumis X. 3.3 Olgu X l˜opmatu hulk ja Tl l˜oplik topoloogia hulgal X ¨l. 1.2). N¨aidata, et ruumi (X, Tl ) iga l˜opmatu alamhulga (vt. u sulund langeb kokku kogu ruumiga X. 3.4 Olgu X meetriline ruum ja A ⊂ X, A = ∅. N¨aidata, et x ∈ cl(A) parajasti siis, kui leidub selline jada {xn }n∈N hulga A elementidest, et limn→∞ xn = x. 3