"topoloogi" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

. . , n korral ja Ai ∈ T t˜ottu leiduvad sellised lahtised vahemikud ]ai ; bi [, et x ∈]ai ; bi [⊂ Ai . Valides arvuks a suurima arvudest a1 , . . . , an ja arvuks b v¨ahima arvudest b1 , . . . , bn , saame x ∈]a; b[⊂ Ai iga i korral. J¨arelikult x ∈]a; b[⊂ A = ∩ni=1 Ai . Kuna x oli valitud mis tahes elemendina hulgast A, siis hulga T definit- siooni kohaselt A = ∩ni=1 Ai ∈ T . Seega T rahuldab ka lahtistele hulkadele esitatavat n˜ouet 30 ja (R, T ) on topoloogi- line ruum. Saadud topoloogiat T nimetatakse loomulikuks topoloogiaks reaalarvude hulgal R. Kui ei ole ¨oeldud midagi muud, siis r¨a¨akides reaalarvude hulgast R kui topoloogili- sest ruumist, m˜oeldakse teda ruumina loomuliku topoloogia suhtes. Teoreem 1.1 Kui Ti , kus i ∈ I (I - indeksite hulk), on topoloogiad hulgal X, siis ka ∩i∈I Ti on topoloogia hulgal X. T˜oestus. Olgu Ti , i ∈ I, topoloogiad hulgal X ja T = ∩i∈I Ti . N¨aitame, et T on topoloogia hulgal X