Loogika aine ja ajalugu
tõestatav. Tõepoolest, kui A oleks tõestatav, siis oleks A sisu ("A ei ole tõestatav") vale, see on aga, nagu näidatud,
võimatu. Kokkuvõtteks, A on õige, aga ei A ega A eitus pole tõestatavad.
Äsjatoodud mitteformaalne arutlus muidugi veel aritmeetika mittetäielikkust ei tõesta. Gödel kodeeris mittetäielikkuse
tõestamiseks formaalse aksiomaatika aritmeetikasse. Nimelt saab kogu nimetatud formaalse süsteemi ja kõik väited
esitada aritmeetika enda teoreemidena, s.t teoreemidena täisarvude kohta. Seega õnnestub kirja panna
aritmeetikateoreem A, mille sisuline tähendus formaalses süsteemis on, et seesama teoreem A ei ole aritmeetika
aksiomaatikast tõestatav.
Teoreem A on tegelikult tõene, aga kasutatud formaalsest süsteemist endast teda tuletada ei saa, tarvis on aksioome
juurde lisada. Nende lisamise korral ilmnevad uued tõesed, aga mittetõestatavad teoreemid, mille tõestamiseks on tarvis
jälle uusi aksioome lisada, jne jne.
annaabi.ee 
