"supxx" - 1 õppematerjal

Kolokvium 1 materjal

vahemikus. N¨ aiteks funktsioon f (x) = 1/x on pidev vahemikus (0; 1), kuid ei ole t~okestatud selles vahemikus. T~ oesti, M > 1 korral on vahemiku (0; 1/M ) igas punktis funktsiooni f (x) v¨ a¨ artus suurem kui M. Definitsioon 1. Hulga X R v¨ ahimat u ¨lemist t~oket nimetatakse hulga X u ¨lemiseks rajaks ehk supreemumiks. Hulga X u ¨lemist raja t¨ahistatakse sup X ehk supxX x. Definitsioon 2. Hulga X R suurimat alumist t~oket nimetatakse hulga X alu- miseks rajaks ehk infiimumiks. Hulga X alumist raja t¨ahistatakse inf X ehk inf xX x. N¨aide 1. Olgu X = {1/n}nN = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . }. Leiame sup X ja inf X. Hulga X u ¨lemiseks t~ okkeks on suvaline M R, mis rahuldab seost M 1. Selliste t~okete hulgas on t~oke 1 v¨ahim. Seega sup{1/n}nN = 1.