"supreemum" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

arvude korpusega Q (vt. punkt 1.3.2), tähistame need korpuste F1 ja F2 puhul vastavalt Q1 ja Q2 . Olgu ϕ : Q1 → Q2 . Rõhutame, et ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q) ja ϕ(p · q) = ϕ(p) · ϕ(q) kõikide p, q ∈ Q1 korral ja võrratusest p < q korpuses Q1 järeldub ϕ(p) < ϕ(q) korpuses Q2 . Defineerime otsitava kujutuse ψ : F1 → F2 seosega ψ(x) := sup{ϕ(q) : q ∈ Cx }, (1.15) kus Cx := {r ∈ Q1 : r < x} (x ∈ F1 ) ja supreemum on võetud korpuses F2 . Vahetu kontroll näitab, et kujutus ψ on korrektselt defineeritud, seejuures ψ(x) = ϕ(x) iga x ∈ Q1 korral. Kujutus ψ säilitab järjestuse, s.t. x < y ⇒ ψ(x) < ψ(y). Sellest implikatsioonist tuleneb vahetult ka kujutuse ψ injektiivsus. Kuna suvalise y ∈ F2 korral kehtib ψ(x) = y, kus x := sup{ϕ−1 (p) : p ∈ Cy }