Kollokvium I, 2012
6. Näidata, et kui lim nyn = a ning xn < zn < yn, siis lim nzn = a. f(xn) +1/n f()=inf x[a,b]
Tõestus. Fikseerime . Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud C 1, C2 N, nii et
n > C1 xn U(a) a < xn < a + 18. Tõestada Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest.
n > C2 yn U(a) a < yn < a +
Kui C = max { C1, C2}, siisvastavalt eeldusele n > C korral
A < xn < zn < yn < a + zn U(a),
Mis vastavalt piirväärtuse definitsioonile annab lim/n zn = a.
7. Näidata, et koonduv jada on Cauchy jada.
Eeldame, et kus limnXn = a. Olgu >0 suvaline, siis leidub C N omadusega |xn - a| < /2 iga
n< N korral. Kui n > N, siis saame
|xn+p - xn| = |xn+p a + a - xn| |xn+p - a| + |xn a| < /2 + /2 = seega on xn Cauchy jada.
8. Näidata, et iga Cauchy arvjada koondub
annaabi.ee 
