"separaabliks" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

korral. Olgu U punkti x mingi u ¨mbrus. Piirv¨a¨artuse definit- siooni kohaselt leidub selline m, et an ∈ U iga n ≥ m korral. J¨arelikult punkti x igas u¨mbruses leidub hulga A punkte ja x ∈ cl(A). Definitsioon 3.5 Topoloogilise ruumi X alamhulka A nimetatakse tihedaks ruumis X, kui tema sulund cl(A) lan- geb kokku ruumiga X, st X = cl(A). N¨aide 3.4 K˜oigi ratsionaalarvude hulk on tihe k˜oigi reaal- arvude ruumis. Definitsioon 3.6 Topoloogilist ruumi X nimetatakse separaabliks, kui temas leidub loenduv tihe hulk. N¨aide 3.5 Reaalarvude ruum R on n¨aite 3.4 p˜ohjal sepa- raabel. Teoreem 3.14 Kui topoloogiline ruum rahuldab teist loendu- vuse aksioomi, siis ta on separaabel. T˜oestus. Rahuldagu topoloogiline ruum X teist loendu- vuse aksioomi ja olgu B = { B1 , B2 , . . . } ruumi X loenduv 32 3 SISEMUS JA SULUND baas (Bi = ∅). Valime igast baasi kuuluvast hulgast Bi u