53 45 -1 -19 -14 59 -38 -73 95 -49 -86 -88 -5 -98 -46 -33 -43 86 33 17 -9 -73 32 -84 52 -82 -10 23 -39 40 62 13 -54 70 67 -42 33 -35 -49 84 97 -34 22 95 45 -37 -57 -65 94 7 -59 -1 -19 -41 -6 -71 -30 -54 9 -19 -33 -60 -82 -67 -61 81 -86 31 65 96 -60 -15 8 93 -92 89 -44 68 -20 -65 78 -26 -12 67 9 38 18 -33 -14 -82 Marika Midro 104030 KAKB11 Minimum Rida Veerg -98 2 5 -61 Negatiivsed arvud 43 -98 92 -44 77 Loo maatriks 29 90 32 -44 -40 -6
na Tehnikaülikool rmaatikainstituut Massiivid Õppemärkmik 082723 Õpperühm MATB-14 Tee maatriks Tee vektor OP_Mas Kustuta Maatriks 73 58 -25 93 75 -89 90 -27 5 127 -32 -6 127 -32 -6 147 -15 -70 90 -27 5 90 -27 5 90 -27 5 Kustuta Ruutmaatriks: Neg_kesk Ristkülikmaatriks: p -57 Vektor 54 -90 19 Variant 19 Ristkülikmaatriks - leida suurus p = 2k + m, kus k on esimese rea positiivsete elementide aritmeetiline keskmine, m maksimaaln
En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit võib leida, kui: -transponeerida maatriks
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Tabelid Üliõpilane Tõnis Rohula õppemärkmik 083135 Õppejõud Ahti Lohk õpperühm EAKI-21 Variant: 5 Ristkülikmaatriks leida maatriksi iga rea skalaarkorrutis vektoriga leida minimaalne element antud ridade vahemikus (S) moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on suurem antud arvust Ruutmaatriks lahutada esimene veerg veergudest, kus peadiagonaali element on positiivne leida saadud maatriksi elementide aritmeetiline keskmine leida minimaalne element ülalpool kõrvaldiagonaali (S) Ülesande realisatsioon Ruutmaatriksi puhul Min ülalpool m n kõrv.diag. 8 6 ...
, kus maksimum asub. vn Veeru nr., kus maksimum asub. Maksimum ning rea ja veeru number, kus see asub, esitatakse töölehe vastavates lahtrites. Funktsioon aritm2(A(), rn, m) Leiab selle rea elementide aritmeetilise keskmise, kus asub leitud maksimum. Vastus esitatakse töölehel lahtris "kesk". rn Rea number, kus asub maksimum. m Maatriksi veergude arv. A() Maatriks A. hiljem massiividesse loetakse. Ruutmaatriks Protseduur Lahuta(A(), B(), C(), n) veeru elementidest. Lahutab vektori B nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne. n Maatriksi ridade arv. A() Esialgne maatriks A. B() Vektor B. C() Uus maatriks C.
Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)= Ortogonaalmaatriks: ruutmaatriks, mille korrutis oma transponeeritud maatriksiga võrdub ühikmaatriksiga E.
-51 -97 -43 90 -68 -35 7 15 -91 96 29 27 -73 -97 -98 -59 -38 21 82 -98 -42 -63 139 78 103 3 -25 -86 -132 -78 55 -103 34 42 -64 123 56 39 100 -80 -24 -45 96 35 60 -40 -68 -51 -97 -43 90 -68 7 15 -91 96 29 Ristkülikmaatriks Ruutmaatriks veerg pos el summa max ül diag rida veerg -20 1 5 Protseduur Pos_el_summa(sisend, ridu, rist_ve) Leiab positiivsete elementide summa etteantud veerus (rist_ve) Protseduur Pos_el_summa(sisend, ridu, rist_ve) sisend(), ridu, rist_ve Protseduur Pos_el_s s=0
11 33 -2 31 36 30 -2 13 39 34 14 41 Arv 5 Rida Veerg Veerg_1 2 Veerg_2 4 Ristkülikmaatriks - leida maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutis - jagada iga rea elemendid selle rea elementide summaga - moodustada uus maatriks veergudest, kus viimane element on suurem antud arvust Ruutmaatriks - lahutada esimene rida nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne - leida minimaalne element antud veergude vahemikus - leida positiivsete elementide keskmine allpool peadiagonaalis 29 viimase veeru m ja vektori skalaarkorrutis 20 10 25 minimaalse elemendi antud veergude vahem 47 -2 leida positiivsete elementide keskmine allpo
..+ n An
Ruutmaatriksi A0, mille korral on täidetud tingimus Pn(A0) =
Lineaarsed võrrandi süsteemid
Def : (m×n) järku lineaarseks võrrandi süsteemiks nimetatakse m- võrrandist ja n-
tundmatust moodustatud hulka järgmisel kujul.
( a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1nxn = b1
( a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2nxn = b2
( a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3nxn = b3
Kolme moodi seotud: m=n , m
28,74074 -20,74074 14,22222 16,2962963 -24 -5,62963 26,07407 1,422222 -4,533333 -3,644444 8,08888889 4,1777778 1,4222222 -5,688889 Ristkülikmaatriks - jagada iga rea elemendid selle rea elementide aritmeetilise keskmisega - leida maksimaalne element saadud maatriksi igas veerus - liita vektor maatriksi (ette) antud numbriga reale (S) Ruutmaatriks - leida minimaalne element kõrvaldiagonaalil ja selle asukoht - leida selle rea positiivsete elementide keskmine, kus asub leitud miinimum moodustada uus maatriks veergudest, kus peadiagonaali element on suurem nullist (S) -10,75 20 17,375 -19
Informaatika II Tallinna Tehnikaülikool Tudeng: EAEI-21 Õppejõud: Kristina Murtazin Ristkülikmaatriks - leida minimaalne element antud veergude vahemikus - leida maatriksi selle rea elementide keskmine, kus asub leitud miinimum (S) - moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on väiksem leitud keskmisest Ruutmaatriks - lahutada vektor maatriksi igast veerust (S) - leida ülalpool kõrvaldiagonaali asuvate elementide absoluutväärtuste keskmine vahetada read, kus asub maatriksi peadiagonaali minimaalne ja maksimaalne element 41 7 16 -42 -40 55 -98 52 63 42 -91 -17 73 58 -25 93 75 -89 90 -27 Tee maatriks Maatriks ridadest, kus esimene element on väiksem leitud ...
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Massiivid Üliõpilane Indrek Õppejõud Ermo Täks ehnikaülikool atikainstituut Matrikli nr Õpperüh m Variant 29 -72 85 67 56 20 -85 100 26 -47 38 20 54 -46 32 99 87 94 -51 -10 -72 73 -54 43 91 70 -46 72 98 25 15 -34 38 -17 53 -39 -32 86 -92 -47 -32 10 12 61 40 61 -86 46 64 -93 64 -27 2 -18 35 -66 -53 -72 26 ...
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
veerunumbrit. 3) vektori cpikkus saadakse vektori pikkuse ||||korrutamisel arvu c Geomeetriline kujut. moodul. Maatriks on n-ndat järku ruutmaatriks, kui tema ridade arv absoluutväärtusega |c| X reaaltelg m võrdub tema veergude arvuga n. c || , ||c||=|c|*|||| Y immaginaartelg Elemendid a11, a22, ..., amn asuvad maatriksi A Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks
Tallinna Tehnik Informaatikain Massiiv Üliõpilane: Õppejõud: Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Massiivid Kristiina Stõkova Matrikli nr: 105281 Kristina Murtazin Õpperühm: EAEI-23 Variant: 11 Ristkülikmaatriks: 1) leida maksimaalne element ja selle asukoht igas reas 2) leida maatriksi nende elementide summa, mis on väiksemad antud arvust 3) moodustada uus maatriks veergudest, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks: 1) liita vektor nendele ridadele, kus kõrvaldiagonaali element on negatiivne 2) leida maksimaalne element väljaspool peadiagonaali ja selle asukoht (S) 3) vahetada viimane veerg veeruga, kus asub leitud maksimum arvust atiivne (S) atiivne oht (S) Tee maatriks Tee vektor Lahenda Kustuta Ristkülik: Vali arv: Summa: 10 ektor Ruut: ...
(m*n) maatriks on m reast ja n veerust koosnev ristküliku kujuline arvude tab.,tähistatakse suurte tähtetega (A,B,C),arvud aijon maatriksite elemendid (kus i=1,2,3,...m rea indeks ja j=1,2,3...n-veeru indeks)kõigi (m*n) maatriksite hulk tähistatakse . Maatriksit A=aij - ruutmaatrikskui m=n ,eristatakse pea- ja kõrvaldiogonaale (a11,a12,a13...ann peadiogonaali elemendid) jan (a1n,a2n-1...an1 kõrvaldiogonaali elemendid). Diogonaalmaatriks on ruutmaatriks milles kõik elemendid mis ei ole peadiogonaalil on nullid(0) Maatriksi A=aij ridade elemente nimetatakse selle maatriksi reavektoriks (aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Massiivid Üliõpilane Sandra Vähejaus Õppemärkmik 081972 Õppejõud Ahti Lohk Õpperühm EALB21 Ülesande kirjeldus Variant 12 Ristkülikmaatriks *leida absoluutväärtuste keskmine maatriksis *leida minimaalne element ja selle asukoht igas reas *liita vektor nendele veergudele, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks *leida suurim element peadiagonaalil ja selle veeru summa, kus asub leitud maksimum *leida minimaalne element allpool peadiagonaali (S) *moodustada vektor maatriksi nendest elementidest, mis on väiksemad antud arvust (S) b leitud maksimum mad antud arvust Abs. Kesk Maks el. PD Maks PD sum Min all PD Etteantud Spetsifikatsioonid protseduuridest Sub Op_Mas_1() Loeb maatriksi töölehelt VBA massiivi. Värvib negatiivsed arvud. Teeb läbi If-protseduuri kindlaks, ka või ruutma...
n-järku D-i elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse (n-1)- järku D, mis tuleb D-st, kui sellest jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Alam-D Aik ja miinori Mik vahel kehtib järgmine seos: Aik = (-1)i+k Mik 2. Maatriksi põhimõisted. Lineaarsed tehted maat-ga. Maatriks on ja jääb arvutabeliks, tema väärtust kunagi ei arvestata. Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat
ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1.
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Massiivid Õpilane Õppejõud inna Tehnikaülikool formaatikainstituut Massiivid Matr.nr Rühm Ülesande kirjeldus Ristkülikmaatriks 1. Jagada iga veeru elemendid selle veeru elementide summaga. 2. Leida absoluutväärtuselt suurim element ja selle koht antud veerus (S) 3. Moodustada uus maatriks nendest ridadest, kus viimane element on positiivn Ruutmaatriks 1. Lahutada vektor maatriksi viimasest veerust. 2. Liita viimane rida nendele ridadele, kus peadiagonaali element on väiksem n 3. Leida maksimaalne element ülalpool peadiagonaali (S). elementide summaga. ja selle koht antud veerus (S). us viimane element on positiivne. iagonaali element on väiksem nullist. Ristkülikmaatriksi absoluutne maksimum ning selle asukohtantud veerus. Abs_max A...
Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatiksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n nimetatakse maatriksi järguks [1] ja täisarve m ja n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4-korda-3 maatriksit. 1.1 Eri tüüpi maatriksid Diagonaalmaatriks : on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Skalaarmaatriks : diagonaalmaatriks, kus diagonaalil asuvad elemendid on ühe ja sama väärtusega. Ühikmaatriks : skalaarmaatriks, kus diagonaalil asuvad ühed. Tasub meelde jätta, et ühikmaatriksit tähistatakse alati I-ga. Lisaks peaks meeles püsima, et nii nagu tegurit ühega korrutades on ka ühikmaatriksiga korrutades tulemuseks tegur ise, IA = AI = A.
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui
Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuld...
Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m n. Kolmnurkne maatriks- nim. maatriksit, kus ühel pool pea- või kõrvaldiagonaali on kõik elemendid nullid. Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Ühikmaatriks nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud elemendid on 0-id Nullmaatriks Maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Maatriksi tähis on Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A.
am1 am2 ... amn Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus. n - veerg Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕHIKUJUD 1. RISTKÜLIKUMAATRIKS mn 4 -2,7 3 A= 6 2 0 2. RUUTMAATRIKS m=n 1 3 2 A= 0 1,2 4 2 1 2 PEADIAGONAAL moodustavad võrdsete indeksitega elemendid (Nt.: a11, a22, ... ann). KÕRVALDIAGONAALi moodustavad peadiagonaaliga risti olevad elemendid. 3. DIAGONAALMAATRIKS peaelemendid on 0-st erinevad, aga väljaspool peadiagonaalist on nullid.
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid
teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 10) Determinantide arendusvalem (arendusteoreem). 11) Pöördmaatriks ja selle kasutamine maatriksvõrrandite lahendamiseks. Pöördmaatriks- A*B=BA=E, E-on ühikmaatriks.on võimalik kui-1) A maatriks on ruutmaatriks, 2) maatriksi pöördtähis on A-1 A A -1= A-1 A= E ,2) kui pöördmaatriksi determinant ei võrdne nulliga. a11 a21 an 1 -1 1 2 moodust-1) valemi järgi A = =a a a A 12 22 n 2 ,2) kasutades a13 a23 an 3 ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, A
MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10 RUUTMAATRIKSI DETERMINANT Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta- vusse reaalarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,..
MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10 RUUTMAATRIKSI DETERMINANT Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta- vusse reaalarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,..
maksimaalne arv 3. D = 0 parajasti siis, kui determinandi reavektorid on lineaarselt sõltuvad; D = 0 <=> selle determinandi veerud on lineaarselt sõltuvad 4. 1 = (a11; ...; a1n); ...; m = (am1; ...; amn), siis vektorid 1, ..., m on lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui maatriksi A Kmxn astak on m 22. Pöördmaatriksi defnitsioon, ühesus, olemasolu ja leidmine (tõestustega). Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatriksit B, mille korral AB = BA = E. A peab olema ruutmaatriks Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis see on üheselt määratud. Tõestus: B1, B2 - A pöördmaatriksid. B2*| AB1 = B1A = E ja AB2 = B2A = E|*B1 => B2AB1 = B2E = B2 ja AB1B2 = EB1 = B1 => B1 = B2 Ruutmaatriksil A = ||aij|| Rnxn leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Tõestus: A-1 eksisteerib <=> |A| 0 => 1. A-1 eksisteerib => AA-1 = E => |AA-1| = |E| = 1 => |A| 0; 2. |A| 0; | A-1| = 1/|A| = |A|-1
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q
Korrutades det-i mingit rida c d a b [veergu] arvuga k, muutub det-i väärtus k korda. Det-i väärtus ei muutu, kui tema mingile reale [veerule] liita (lahutada) mingi arvuga korrutatud mingi teine rida. Det-i väärtus on null, kui tema mingi rida on tema mingiteise rea kordne. 8. Maatriksi mittesingulaarse tingimused, mittesingulaarse test determinandi abil. Maatriksi mittesingulaaruse tarvilik tingimus on, et peab olema ruutmaatriks piisav tingimus on, et read peavad olema lineaarselt sõltumatud. Kui |A| 0 , siis maatriks A: read on lineaarselt sõltumatud, A on mittesingulaarne, eksisteerib pöördmaatriks eksisteerib ühene lahend. 9. Pöörmaatriksi mõiste ja leidmine. Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 nim maatriksid, mile korral A·A -1=A-1=E Tingimus A ruutmaatriks. Leidmine: a) kontrollida, et DA0 b) võtta A asemel AT c) asendada AT adjugeeritud ~
elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c.. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil. Maatriksite liigid: ● ruutmaatriks Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. ● ristkülikmaatriks Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ
elementaarteisendused. Def. 1. Maatriksi A = ( aij ) Rm× n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ( b ji ) Rn× m , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid (maatriksi A read on paigutatud maatriksi AT veergudeks), s.t. b ji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral. Def. 3. Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A . Sümmeetriline maatriks A = ( aij ) peab tingimata olema ruutmaatriks ja aij = a ji iga i ja j väärtuse korral. Def. Maatriksi A ridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: 1° maatriksi A mingile reavektorile liidetakse mingi arvu kordne maatriksi A mingi teine reavektor; 2° maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi nullist erineva arvuga. Üleminekut maatriksilt A maatriksile B mingi ridade elementaarteisendusega tähistatakse
Valige üks järgmistest ülesannetest: 1. On olemas ühemõõtmeline massiiv, mis koosneb mittekorduvatest juhuarvudest. (10 punkti) On vaja: · Lugeda paariskohtadel asuvate elementide summa · Lugeda minimaalse ja maksimaalse elemendivahel seisvate massiivielementide summa · Trükkida välja kõige pikem järjest leiduv kasvavas järjekorras elementide jada. 2. On antud täisarvuline ruutmaatriks (10 punkti) · Leida nende ridade elementide summa, kus puuduvad negatiivsed arvud 12 · Igas reas leida suurim element ja vahetada see kohtadega vastava peadiagonaali elemendi vastu. · Maatriksi elementi loetakse lokaalmiinimumiks, kui ta on rangelt väiksem kõigist naaberelementidest
¨lesandeks. 4 I. Determinandid 2 Arendusteoreemid ja arendusvalemid 2.1 Kroneckeri su ¨ mbol Kroneckeri1 s¨ umboli ij defineerime valemiga 1, kui i = j ij = 0, kui i = j 2.2 Arendusteoreemid Teoreem 1. Olgu A ruutmaatriks ning Aij elemendi aij alamde- terminant. Siis ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · · + ain Ajn ij det A = a1i A1j + a2i A2j + · · · + ani Anj 2.3 Arendusvalemid V~otame arendusteoreemides j = i. Saame nn arendusvalemid ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain det A = a1i A1i + a2i A2i + · · · + ani Ani
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust v...
RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA. Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord: AB BA. Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A). Näide 6 : b11 b12 a11 a12 a13 × b21 b22 = a 21 a 22 a 23 2 x 3 b31 b32 3 × 2 a b + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12 b22 + a13b32 = 11 11
Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA. Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord: AB BA. Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A). Näide 6 : b11 b12 a11 a12 a13 × b21 b22 = a 21 a 22 a 23 2 x 3 b31 b32 3 × 2 a b + a12 b21 + a13b31 a11b12 + a12 b22 + a13b32 = 11 11
det ( AB ) = ( det A ) ( det B ) . 4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E , (1) kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Võrdustes (1) on korrutamine võimalik, kui A on ruutmaatriks. Seega pöördmaatriks võib leiduda ainult ruutmaatriksil. Teoreem 1. Maariksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud. Tõestus. Olgu B1 ja B2 maatriksi A pöördmaatriksid. Siis AB1 = B1 A = E , AB2 = B2 A = E ja B1 = B1E = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = EB2 = B2 , s.t. B1 = B2 ning teoreemi väide kehtib.
7 9 5 9 3. Maatriksite korrutamine Definitsioon. Maatriksite A = (aij) ja B = (bij) korrutiseks nimetatakse -maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru element on võrdne Seega me korrutame maatriksi A iga liige reas i maatriksi B veeru j vastava elemendiga ja liidame tulemused kokku. 4. Teist ja kolmandat järku determinandid. Olgu antud teist järku ruutmaatriks: a a12 A = 11 a 21 a 22 Definitsioon. Avaldist a11 a 22 -a12 a 21 nimetatakse teist järku determinandiks (maatriksi A determinandiks) ning tähistatakse a11 a12 det( A) =
}
return res;
} // pluss
} // Maatriks
Transponeerimine kahel viisil:
/** Transponeerimine samale kohale. */
public static void transponeeri (double[][] maatriks)
{
if (maatriks == null) return;
int x = maatriks.length;
if (x == 0) throw new IllegalArgumentException
("tyhi maatriks!");
int y = maatriks [0].length;
if (y != x) throw new IllegalArgumentException
("ei ole ruutmaatriks!");
double tmp; // vahetamiseks
for (int i=0; i
a) a = 0 b) ac = 1 a = 1 c = 1 a = -1 c = -1 Mitme samaväärsuse tõestus Sageli on teoreemides samaväärseid tingimusi antud rohkem kui kaks ja teoreemi üldine sõnastus võib näha välja nii: Teoreem (...eeldused...) Järgmised väited on samaväärsed: (a) (b) (c) Teoreem Olgu n täisarv. Järgmised väited on samaväärsed: (a) n on paarisarv (b) n + 1 on paaritu arv (c) n2 on paarisarv Näide: Teoreem. Olgu A n-järku ruutmaatriks. Järgmised väited on samaväärsed: (a) Maatriksil A leidub pöördmaatriks (b) Iga b n korral on maatriksvõrrand Ax = b üheselt lahenduv (c) Maatriksvõrrandil Ax = 0 on ainult triviaalne lahend (d) Maatriksi A determinant on nullist erinev Olemasolu tõestus Väide on kujul x P(x) Olemasolu tõestused jagunevad kaheks: konstruktiivsed ja mittekonstruktiivsed Konstruktiivse olemasolu tõestuse puhul leiame konkreetse elemendi y, mille korral P(y) on tõene.
Süsteemi mõiste. Süsteemimudel. Muutujad ja parameetrid. Sisend-, oleku- ja väljundmuutujad. Millest sõltub süsteemi käitumine. Süsteemi matemaatiline mudel ja selle koostamine. Algolek ja selle sisu. Dünaamiline süsteem. Pidev- ja diskreetaja süsteemid. Süsteemi mõiste: Süsteem on omavahel seotud objektide terviklik kogum. Süsteem on see, mida saab vaadelda süsteemina (süsteem on subjektiivne – kui tahan, vaatan süsteemina, kui ei taha, ei vaata). Süsteem on funktsioon sisendist ja siseolekust, kui see võrrand teada, siis see võrrand on süsteem ehk süsteemimudel. Süsteemi omadused: element/objekt, sidemed (mistahes seosed elementide vahel, võivad olla orienteeritud, vastastikused, muutlikud, juhuslikud jne), terviklikkus, süsteemil on hierarhia, süsteemil on kindel käitumine. Põhiülesanded: süsteemide modelleerimine (mudelite koostamine), süsteemide analüüs (meetodid süsteemide uurimiseks), süsteemide süntees (meetodid süsteemide loomi...
Relatsioon võib olla esitatud: 5 0 0 0 1 0 1. järjestatud paaride hulgana: 6 1 1 0 0 1 R = { < 2, 2 > < 3, 3 > < 4, 2 > < 4, 4 > < 5, 5 > < 6, 2 > < 6, 3 > < 6, 6 >} Relatsiooni esitab kahendtäitega ruutmaatriks. R = { < a, b > | a mod b = 0 } Ühikrelatsioon E ehk binaarsuhte diagonaal on binaarsuhe, mis seab Kui alushulga elemendid on seotud vastavuspaarideks mingi reegli igale alushulga elemendile vastavaks ainult selle elemendi enda: (tunnuse või tingimuse) abil, siis seda reeglit nimetatakse relatsioonikriteeriumiks
Sümmeetrilised maatriksid on näiteks 4 3 1 2 7 3 8 5 7 5 1 5 2 Sümmeetrilise maatriksi korral aij ' aji . Sümmeetriline saab olla vaid ruutmaatriks. ÜLESANDED 8.8 Leida transponeeritud maatriksid: 2 1 12 9 2 6 12 6 7 9 7 8 A' B' 7 5 8 3 C ' 19 D' 2 8 4 3 0
li peadiagonaalil seisvad arvud a ja d ning lahutades tulemusest kõrval- diagonaalil seisvate arvude b ja c korrutise. Definitsioon 1.11 Kolmandat järku determinandiks nimetatakse avaldist a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a3 b1 c2 + a2 b3 c1 - a3 b2 c1 - a1 b3 c2 - a2 b1 c3 . a3 b3 c3 Joonis: http://www.sparknotes.com/math/algebra2/systemsofthreeequations/section3.rhtml 1.5 Kõrgemat järku determinant Olgu antud n-järku ruutmaatriks A = (aij ). Maatriksi A determinanti tähistame a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n |A| = .. .. .. .. . (1.8) . . . . an1 an2 ··· ann 11
Otsivektor ja tulemivektor võivad olla erisuunalised (horisontaalsed või vertikaalsed) või paralleelsed. Oluline on ainult mõlema võrdne elementide arv. =LOOKUP (lookup_value, array) Tulemus saadakse alati maatriksiriba viimasest reast või veerust. Võimaldab otsingut nii vertikaal- kui horisontaalmaatriksis otsides võrdlusväärtust vastavalt maatriksi mõõtmetele. Kui maatriks on ruutmaatriks või veege on rohkem kui ridu, otsitakse otsiväärtust esimesest reast, muidu aga esimesest veerust. Näide: Sisestades puu liigi, kuvatakse teile selle liigi hind NB! Funktsiooni LOOKUP jaoks peab piirkond, kust otsitakse otsiväärtust olema alati järjestatud kasvavalt. Tekstifunktsioonid Lisaks arvudele ja arvutamistele on Excelis võimalik opereerida ka tekstidega. Excelis on hulk funktsioone, mis teevad tehteid tekstidega
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
