53 45 -1 -19 -14 59 -38 -73 95 -49 -86 -88 -5 -98 -46 -33 -43 86 33 17 -9 -73 32 -84 52 -82 -10 23 -39 40 62 13 -54 70 67 -42 33 -35 -49 84 97 -34 22 95 45 -37 -57 -65 94 7 -59 -1 -19 -41 -6 -71 -30 -54 9 -19 -33 -60 -82 -67 -61 81 -86 31 65 96 -60 -15 8 93 -92 89 -44 68 -20 -65 78 -26 -12 67 9 38 18 -33 -14 -82 Marika Midro 104030 KAKB11 Minimum Rida Veerg -98 2 5 -61 Negatiivsed arvud 43 -98 92 -44 77 Loo maatriks 29 90 32 -44 -40 -6
na Tehnikaülikool rmaatikainstituut Massiivid Õppemärkmik 082723 Õpperühm MATB-14 Tee maatriks Tee vektor OP_Mas Kustuta Maatriks 73 58 -25 93 75 -89 90 -27 5 127 -32 -6 127 -32 -6 147 -15 -70 90 -27 5 90 -27 5 90 -27 5 Kustuta Ruutmaatriks: Neg_kesk Ristkülikmaatriks: p -57 Vektor 54 -90 19 Variant 19 Ristkülikmaatriks - leida suurus p = 2k + m, kus k on esimese rea positiivsete elementide aritmeetiline keskmine, m maksimaaln
... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit võib leida, kui: -transponeerida maatriks
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Tabelid Üliõpilane Tõnis Rohula õppemärkmik 083135 Õppejõud Ahti Lohk õpperühm EAKI-21 Variant: 5 Ristkülikmaatriks leida maatriksi iga rea skalaarkorrutis vektoriga leida minimaalne element antud ridade vahemikus (S) moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on suurem antud arvust Ruutmaatriks lahutada esimene veerg veergudest, kus peadiagonaali element on positiivne leida saadud maatriksi elementide aritmeetiline keskmine leida minimaalne element ülalpool kõrvaldiagonaali (S) Ülesande realisatsioon Ruutmaatriksi puhul Min ülalpool m n kõrv.diag. 8 6
, kus maksimum asub. vn Veeru nr., kus maksimum asub. Maksimum ning rea ja veeru number, kus see asub, esitatakse töölehe vastavates lahtrites. Funktsioon aritm2(A(), rn, m) Leiab selle rea elementide aritmeetilise keskmise, kus asub leitud maksimum. Vastus esitatakse töölehel lahtris "kesk". rn Rea number, kus asub maksimum. m Maatriksi veergude arv. A() Maatriks A. hiljem massiividesse loetakse. Ruutmaatriks Protseduur Lahuta(A(), B(), C(), n) veeru elementidest. Lahutab vektori B nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne. n Maatriksi ridade arv. A() Esialgne maatriks A. B() Vektor B. C() Uus maatriks C.
ühega ning ülejäänud elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse ühikmaatriksiks. Tähis E. Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaalmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemandeid on võrdsed nulliga. Sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali piknevad elemendid on võrdsed nimetatakse skalaarmaatriksiks. Ruutmaatriksit nimetatakse involutiivseks maatriksiks, kui on rahuldatud tingimus, et pöördmaatriks võrdub algmaatriksiga. Ruutmaatriks on idempotentne, kui A^2=A, see on ruutvõrrand millel on lõpmata palju lahendeid. Ruutmaatsiksit nimetakase sümmeetriliseks, kui on rahuldatud tingimus, et transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga... st on peadiagonaali suhtes sümmeetriline. Ruutmaatriksit nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui on täidetud tingimus, et pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga. Ruutmaatriksit nimetatakse nilpotentseks, kui on täidetud
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Massiivid Üliõpilane Kaspar Kapp Matrikli nr Juhendaja Jüri Vilipõld Õpperühm aülikool siivid 105202 EAEI-21 Ristkülikmaatriks - leida positiivsete elementide summa antud numbriga veerus (S) - jagada leitud summaga maatriksi iga element - leida maksimaalne element saadud maatriksi igas reas Ruutmaatriks - leida maksimaalne element ülalpool peadiagonaali ja selle asukoht (S) - liita vektor nendele veergudele, kus esimene element on negatiivne - moodustada uus maatriks nendest ridadest, kus peadiagonaali element on positiivne variant 22 maatriksis Massiiv Genereeri ridu 5 veerge 5 Kustuta
11 33 -2 31 36 30 -2 13 39 34 14 41 Arv 5 Rida Veerg Veerg_1 2 Veerg_2 4 Ristkülikmaatriks - leida maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutis - jagada iga rea elemendid selle rea elementide summaga - moodustada uus maatriks veergudest, kus viimane element on suurem antud arvust Ruutmaatriks - lahutada esimene rida nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne - leida minimaalne element antud veergude vahemikus - leida positiivsete elementide keskmine allpool peadiagonaalis 29 viimase veeru m ja vektori skalaarkorrutis 20 10 25 minimaalse elemendi antud veergude vahem 47 -2 leida positiivsete elementide keskmine allpo
Maatriks arvutus Def 1 : (mxn) m korda n järku arv maatriks A nim mn arvust moodustatud tabelit, milles on m rida ja n veergu. NT filmilint, male- ja kaberuudud. Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s
28,74074 -20,74074 14,22222 16,2962963 -24 -5,62963 26,07407 1,422222 -4,533333 -3,644444 8,08888889 4,1777778 1,4222222 -5,688889 Ristkülikmaatriks - jagada iga rea elemendid selle rea elementide aritmeetilise keskmisega - leida maksimaalne element saadud maatriksi igas veerus - liita vektor maatriksi (ette) antud numbriga reale (S) Ruutmaatriks - leida minimaalne element kõrvaldiagonaalil ja selle asukoht - leida selle rea positiivsete elementide keskmine, kus asub leitud miinimum moodustada uus maatriks veergudest, kus peadiagonaali element on suurem nullist (S) -10,75 20 17,375 -19
Informaatika II Tallinna Tehnikaülikool Tudeng: EAEI-21 Õppejõud: Kristina Murtazin Ristkülikmaatriks - leida minimaalne element antud veergude vahemikus - leida maatriksi selle rea elementide keskmine, kus asub leitud miinimum (S) - moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on väiksem leitud keskmisest Ruutmaatriks - lahutada vektor maatriksi igast veerust (S) - leida ülalpool kõrvaldiagonaali asuvate elementide absoluutväärtuste keskmine vahetada read, kus asub maatriksi peadiagonaali minimaalne ja maksimaalne element 41 7 16 -42 -40 55 -98 52 63 42 -91 -17 73 58 -25 93
64 -27 2 -18 35 -66 -53 -72 26 99 -54 25 -32 61 20 54 -10 -46 -17 -32 46 Ristkülikmaatriks *leida maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutis (S) *jagada iga rea elemendid selle rea elementide summaga *moodustada uus maatriks veergudest, kus viimane element on suurem antud arvust Ruutmaatriks *lahutada esimene rida nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne *leida minimaalne element antud veergude vahemikus *leida positiivsete elementide keskmine allpool peadiagonaali (S) Kesk Skalaar Antud arv Veerg_1 Veerg_2 Min_elem -12189 20 1 3 Vektor Iga rea elemendi jagamine selle rea elementide summaga -48 -0,4 0,5 0,4 0,3
määratud polaarraadiuse(pikkus) ja polaarnurgaga. Seosed riskoordinaatidega x=r*cos ja y=r*sin ning r=x2+y2 ja =arctan y/x. 6)Maatriks, parameetrid, erikujulised maatriksid. Maatriksiks nimetame nende arvude tabelit, milles on m rida ja n veergu. Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on samanimelised koordinaadid). m=n ruutmaatriks; mn ristkülikmaatriks. Lisaks veel trapetskuju maatriks, kolmnurkkuju maatriks, diagonaalmaatriks, nullmaatriks, ühikmaatriks. Peadiagonaal ja kõrvaldiagonaal. Parameetrid: a ij- maatriksi elemendid; m-ridade arv; n-veergude arv; reaindeks-i ja veeruindeks-j. 7)Maatriksite liitmine, arvuga korrutamine ja maatriksite korrutamine. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid elementhaaval ning summaks saame samade parameetritega maatriksi, mille elemendid on liidetavate
veerunumbrit. 3) vektori cpikkus saadakse vektori pikkuse ||||korrutamisel arvu c Geomeetriline kujut. moodul. Maatriks on n-ndat järku ruutmaatriks, kui tema ridade arv absoluutväärtusega |c| X reaaltelg m võrdub tema veergude arvuga n. c || , ||c||=|c|*|||| Y immaginaartelg Elemendid a11, a22, ..., amn asuvad maatriksi A Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks
Massiiv Üliõpilane: Õppejõud: Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Massiivid Kristiina Stõkova Matrikli nr: 105281 Kristina Murtazin Õpperühm: EAEI-23 Variant: 11 Ristkülikmaatriks: 1) leida maksimaalne element ja selle asukoht igas reas 2) leida maatriksi nende elementide summa, mis on väiksemad antud arvust 3) moodustada uus maatriks veergudest, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks: 1) liita vektor nendele ridadele, kus kõrvaldiagonaali element on negatiivne 2) leida maksimaalne element väljaspool peadiagonaali ja selle asukoht (S) 3) vahetada viimane veerg veeruga, kus asub leitud maksimum arvust atiivne (S) atiivne oht (S) Tee maatriks Tee vektor Lahenda Kustuta Ristkülik: Vali arv: Summa: 10 ektor Ruut: Max.el: Rida: Veerg: Sub Tee_Maatriks()
(m*n) maatriks on m reast ja n veerust koosnev ristküliku kujuline arvude tab.,tähistatakse suurte tähtetega (A,B,C),arvud aijon maatriksite elemendid (kus i=1,2,3,...m rea indeks ja j=1,2,3...n-veeru indeks)kõigi (m*n) maatriksite hulk tähistatakse . Maatriksit A=aij - ruutmaatrikskui m=n ,eristatakse pea- ja kõrvaldiogonaale (a11,a12,a13...ann peadiogonaali elemendid) jan (a1n,a2n-1...an1 kõrvaldiogonaali elemendid). Diogonaalmaatriks on ruutmaatriks milles kõik elemendid mis ei ole peadiogonaalil on nullid(0) Maatriksi A=aij ridade elemente nimetatakse selle maatriksi reavektoriks (aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Massiivid Üliõpilane Sandra Vähejaus Õppemärkmik 081972 Õppejõud Ahti Lohk Õpperühm EALB21 Ülesande kirjeldus Variant 12 Ristkülikmaatriks *leida absoluutväärtuste keskmine maatriksis *leida minimaalne element ja selle asukoht igas reas *liita vektor nendele veergudele, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks *leida suurim element peadiagonaalil ja selle veeru summa, kus asub leitud maksimum *leida minimaalne element allpool peadiagonaali (S) *moodustada vektor maatriksi nendest elementidest, mis on väiksemad antud arvust (S) b leitud maksimum mad antud arvust Abs. Kesk Maks el. PD Maks PD sum Min all PD Etteantud Spetsifikatsioonid protseduuridest Sub Op_Mas_1() Loeb maatriksi töölehelt VBA massiivi. Värvib negatiivsed arvud. Teeb läbi If-protseduuri kindlaks, ka või ruutmaatriksiga
n-järku D-i elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse (n-1)- järku D, mis tuleb D-st, kui sellest jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Alam-D Aik ja miinori Mik vahel kehtib järgmine seos: Aik = (-1)i+k Mik 2. Maatriksi põhimõisted. Lineaarsed tehted maat-ga. Maatriks on ja jääb arvutabeliks, tema väärtust kunagi ei arvestata. Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat
ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1.
Informaatikainstituut Töö Massiivid Õpilane Õppejõud inna Tehnikaülikool formaatikainstituut Massiivid Matr.nr Rühm Ülesande kirjeldus Ristkülikmaatriks 1. Jagada iga veeru elemendid selle veeru elementide summaga. 2. Leida absoluutväärtuselt suurim element ja selle koht antud veerus (S) 3. Moodustada uus maatriks nendest ridadest, kus viimane element on positiivn Ruutmaatriks 1. Lahutada vektor maatriksi viimasest veerust. 2. Liita viimane rida nendele ridadele, kus peadiagonaali element on väiksem n 3. Leida maksimaalne element ülalpool peadiagonaali (S). elementide summaga. ja selle koht antud veerus (S). us viimane element on positiivne. iagonaali element on väiksem nullist. Ristkülikmaatriksi absoluutne maksimum ning selle asukohtantud veerus. Abs_max Abs_ve Abs_ri 10 1 3
Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatiksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n nimetatakse maatriksi järguks [1] ja täisarve m ja n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4-korda-3 maatriksit. 1.1 Eri tüüpi maatriksid Diagonaalmaatriks : on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Skalaarmaatriks : diagonaalmaatriks, kus diagonaalil asuvad elemendid on ühe ja sama väärtusega. Ühikmaatriks : skalaarmaatriks, kus diagonaalil asuvad ühed. Tasub meelde jätta, et ühikmaatriksit tähistatakse alati I-ga. Lisaks peaks meeles püsima, et nii nagu tegurit ühega korrutades on ka ühikmaatriksiga korrutades tulemuseks tegur ise, IA = AI = A.
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui
mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks Kui ühe ja sama vektori koordinaadid asetseksid ühes reas ning samanimelised koordinaadid ühes ja samas veerus, saame tabeli, mida nim maatriksiks ja tähistatakse A= (a11 a12... a1n)(a21 a22 ... a2n)...(am1 am2 ... amn) kui m=n siis saame maatriksi mida nim ruutmaatriksiks, ehk n²- maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi
Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m n. Kolmnurkne maatriks- nim. maatriksit, kus ühel pool pea- või kõrvaldiagonaali on kõik elemendid nullid. Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Ühikmaatriks nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud elemendid on 0-id
am1 am2 ... amn Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus. n - veerg Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕHIKUJUD 1. RISTKÜLIKUMAATRIKS mn 4 -2,7 3 A= 6 2 0 2. RUUTMAATRIKS m=n 1 3 2 A= 0 1,2 4 2 1 2 PEADIAGONAAL moodustavad võrdsete indeksitega elemendid (Nt.: a11, a22, ... ann). KÕRVALDIAGONAALi moodustavad peadiagonaaliga risti olevad elemendid. 3. DIAGONAALMAATRIKS peaelemendid on 0-st erinevad, aga väljaspool peadiagonaalist on nullid.
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid
teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 10) Determinantide arendusvalem (arendusteoreem). 11) Pöördmaatriks ja selle kasutamine maatriksvõrrandite lahendamiseks. Pöördmaatriks- A*B=BA=E, E-on ühikmaatriks.on võimalik kui-1) A maatriks on ruutmaatriks, 2) maatriksi pöördtähis on A-1 A A -1= A-1 A= E ,2) kui pöördmaatriksi determinant ei võrdne nulliga. a11 a21 an 1 -1 1 2 moodust-1) valemi järgi A = =a a a A 12 22 n 2 ,2) kasutades a13 a23 an 3 ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, A
MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10 RUUTMAATRIKSI DETERMINANT Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta- vusse reaalarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,..
MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10 RUUTMAATRIKSI DETERMINANT Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta- vusse reaalarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,..
maksimaalne arv 3. D = 0 parajasti siis, kui determinandi reavektorid on lineaarselt sõltuvad; D = 0 <=> selle determinandi veerud on lineaarselt sõltuvad 4. 1 = (a11; ...; a1n); ...; m = (am1; ...; amn), siis vektorid 1, ..., m on lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui maatriksi A Kmxn astak on m 22. Pöördmaatriksi defnitsioon, ühesus, olemasolu ja leidmine (tõestustega). Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatriksit B, mille korral AB = BA = E. A peab olema ruutmaatriks Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis see on üheselt määratud. Tõestus: B1, B2 - A pöördmaatriksid. B2*| AB1 = B1A = E ja AB2 = B2A = E|*B1 => B2AB1 = B2E = B2 ja AB1B2 = EB1 = B1 => B1 = B2 Ruutmaatriksil A = ||aij|| Rnxn leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Tõestus: A-1 eksisteerib <=> |A| 0 => 1. A-1 eksisteerib => AA-1 = E => |AA-1| = |E| = 1 => |A| 0; 2. |A| 0; | A-1| = 1/|A| = |A|-1
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q
Korrutades det-i mingit rida c d a b [veergu] arvuga k, muutub det-i väärtus k korda. Det-i väärtus ei muutu, kui tema mingile reale [veerule] liita (lahutada) mingi arvuga korrutatud mingi teine rida. Det-i väärtus on null, kui tema mingi rida on tema mingiteise rea kordne. 8. Maatriksi mittesingulaarse tingimused, mittesingulaarse test determinandi abil. Maatriksi mittesingulaaruse tarvilik tingimus on, et peab olema ruutmaatriks piisav tingimus on, et read peavad olema lineaarselt sõltumatud. Kui |A| 0 , siis maatriks A: read on lineaarselt sõltumatud, A on mittesingulaarne, eksisteerib pöördmaatriks eksisteerib ühene lahend. 9. Pöörmaatriksi mõiste ja leidmine. Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 nim maatriksid, mile korral A·A -1=A-1=E Tingimus A ruutmaatriks. Leidmine: a) kontrollida, et DA0 b) võtta A asemel AT c) asendada AT adjugeeritud ~
elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c.. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil. Maatriksite liigid: ● ruutmaatriks Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. ● ristkülikmaatriks Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ
elementaarteisendused. Def. 1. Maatriksi A = ( aij ) Rm× n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ( b ji ) Rn× m , mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid (maatriksi A read on paigutatud maatriksi AT veergudeks), s.t. b ji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral. Def. 3. Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A . Sümmeetriline maatriks A = ( aij ) peab tingimata olema ruutmaatriks ja aij = a ji iga i ja j väärtuse korral. Def. Maatriksi A ridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: 1° maatriksi A mingile reavektorile liidetakse mingi arvu kordne maatriksi A mingi teine reavektor; 2° maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi nullist erineva arvuga. Üleminekut maatriksilt A maatriksile B mingi ridade elementaarteisendusega tähistatakse
Valige üks järgmistest ülesannetest: 1. On olemas ühemõõtmeline massiiv, mis koosneb mittekorduvatest juhuarvudest. (10 punkti) On vaja: · Lugeda paariskohtadel asuvate elementide summa · Lugeda minimaalse ja maksimaalse elemendivahel seisvate massiivielementide summa · Trükkida välja kõige pikem järjest leiduv kasvavas järjekorras elementide jada. 2. On antud täisarvuline ruutmaatriks (10 punkti) · Leida nende ridade elementide summa, kus puuduvad negatiivsed arvud 12 · Igas reas leida suurim element ja vahetada see kohtadega vastava peadiagonaali elemendi vastu. · Maatriksi elementi loetakse lokaalmiinimumiks, kui ta on rangelt väiksem kõigist naaberelementidest
¨lesandeks. 4 I. Determinandid 2 Arendusteoreemid ja arendusvalemid 2.1 Kroneckeri su ¨ mbol Kroneckeri1 s¨ umboli ij defineerime valemiga 1, kui i = j ij = 0, kui i = j 2.2 Arendusteoreemid Teoreem 1. Olgu A ruutmaatriks ning Aij elemendi aij alamde- terminant. Siis ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · · + ain Ajn ij det A = a1i A1j + a2i A2j + · · · + ani Anj 2.3 Arendusvalemid V~otame arendusteoreemides j = i. Saame nn arendusvalemid ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain det A = a1i A1i + a2i A2i + · · · + ani Ani
loetakse lihtsalt arvu n. 33.maatriksi elemendid- Reaalarvud millest maatriks koosneb 34.maatriksi ja maatriksite hulga tähistused- Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A,B,...,X,Y,Z). Maatriksi elemente tähitatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega (a,b,c1,xmn). Kõikvõimalike mõõtmetega maatriksi hulka tähistatakse Mat abil ning kõigi (m,n)-maatriksite hulka tähistatakse Mat(m,n) abil. 35.Ruutmaatriks-Maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga m=n 36.Ristkülikmaatriks- Maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvut m≠ n 37.Ühikmaatriks-Maatriks mille peadiagonaalis on ainult arvud 1( { δ ij= 1, kuii= j 0, kuii≠ j } 38.Nullmaatriks- maatriks on nullmaatriks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid tähis :Θ 39.Vastandmaatriks- maatriks, mille elementideks on maatriksi elementide vastandarvud
RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA. Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord: AB BA. Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A). Näide 6 : b11 b12 a11 a12 a13 × b21 b22 = a 21 a 22 a 23 2 x 3 b31 b32 3 × 2 a b + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12 b22 + a13b32 = 11 11
Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA. Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord: AB BA. Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A). Näide 6 : b11 b12 a11 a12 a13 × b21 b22 = a 21 a 22 a 23 2 x 3 b31 b32 3 × 2 a b + a12 b21 + a13b31 a11b12 + a12 b22 + a13b32 = 11 11
4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E , (1) kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Võrdustes (1) on korrutamine võimalik, kui A on ruutmaatriks. Seega pöördmaatriks võib leiduda ainult ruutmaatriksil. Teoreem 1. Maariksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud. Tõestus. Olgu B1 ja B2 maatriksi A pöördmaatriksid. Siis AB1 = B1 A = E , AB2 = B2 A = E ja B1 = B1E = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = EB2 = B2 , s.t. B1 = B2 ning teoreemi väide kehtib.
7 9 5 9 3. Maatriksite korrutamine Definitsioon. Maatriksite A = (aij) ja B = (bij) korrutiseks nimetatakse -maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru element on võrdne Seega me korrutame maatriksi A iga liige reas i maatriksi B veeru j vastava elemendiga ja liidame tulemused kokku. 4. Teist ja kolmandat järku determinandid. Olgu antud teist järku ruutmaatriks: a a12 A = 11 a 21 a 22 Definitsioon. Avaldist a11 a 22 -a12 a 21 nimetatakse teist järku determinandiks (maatriksi A determinandiks) ning tähistatakse a11 a12 det( A) =
}
return res;
} // pluss
} // Maatriks
Transponeerimine kahel viisil:
/** Transponeerimine samale kohale. */
public static void transponeeri (double[][] maatriks)
{
if (maatriks == null) return;
int x = maatriks.length;
if (x == 0) throw new IllegalArgumentException
("tyhi maatriks!");
int y = maatriks [0].length;
if (y != x) throw new IllegalArgumentException
("ei ole ruutmaatriks!");
double tmp; // vahetamiseks
for (int i=0; i
a) a = 0 b) ac = 1 a = 1 c = 1 a = -1 c = -1 Mitme samaväärsuse tõestus Sageli on teoreemides samaväärseid tingimusi antud rohkem kui kaks ja teoreemi üldine sõnastus võib näha välja nii: Teoreem (...eeldused...) Järgmised väited on samaväärsed: (a) (b) (c) Teoreem Olgu n täisarv. Järgmised väited on samaväärsed: (a) n on paarisarv (b) n + 1 on paaritu arv (c) n2 on paarisarv Näide: Teoreem. Olgu A n-järku ruutmaatriks. Järgmised väited on samaväärsed: (a) Maatriksil A leidub pöördmaatriks (b) Iga b n korral on maatriksvõrrand Ax = b üheselt lahenduv (c) Maatriksvõrrandil Ax = 0 on ainult triviaalne lahend (d) Maatriksi A determinant on nullist erinev Olemasolu tõestus Väide on kujul x P(x) Olemasolu tõestused jagunevad kaheks: konstruktiivsed ja mittekonstruktiivsed Konstruktiivse olemasolu tõestuse puhul leiame konkreetse elemendi y, mille korral P(y) on tõene.
Olekumudeli ja ülekandemudeli (ehk sisend-väljund mudeli) seosed. Lineaarse statsionaarse diskreetaja süsteemi olekumudel: Diskreetaja süsteemides kasutatakse z- teisendust. Enamik tehnilisi süsteeme on diskreetsed, aeg mõõdetakse taktides ja väärtused on mõõdetud kindlal ajahetkel. Ei räägita ajast vaid takti numbrist. Diskreetse aja puhul on olekumudel: x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) ja y(k)=Cx(k), x(0), kus maatriks F ütleb kui palju siseolekuid on (alati ruutmaatriks), x(0) on siseolekute väärtused, (k+1) näitab mis toimub järgmisel ajahetkel, k – takt (aeg) ning see on alati täisarvuline, G abil saab analüüsida, kas süsteem on juhitav (nt kui süsteem on juhitav on võimalik teha tagasisidet, et süsteemi suvalisest olekust viia soovitud olekusse ehk süsteemi on vüimalik stabiliseerida) ja C abil saab analüüsida kas süsteem on jälgitav. Statsionaarne mudel: Kõik parameetrid on konstantsed, ei sõltu ajast. Sellise süsteemi käitumine
Relatsioon võib olla esitatud: 5 0 0 0 1 0 1. järjestatud paaride hulgana: 6 1 1 0 0 1 R = { < 2, 2 > < 3, 3 > < 4, 2 > < 4, 4 > < 5, 5 > < 6, 2 > < 6, 3 > < 6, 6 >} Relatsiooni esitab kahendtäitega ruutmaatriks. R = { < a, b > | a mod b = 0 } Ühikrelatsioon E ehk binaarsuhte diagonaal on binaarsuhe, mis seab Kui alushulga elemendid on seotud vastavuspaarideks mingi reegli igale alushulga elemendile vastavaks ainult selle elemendi enda: (tunnuse või tingimuse) abil, siis seda reeglit nimetatakse relatsioonikriteeriumiks
Sümmeetrilised maatriksid on näiteks 4 3 1 2 7 3 8 5 7 5 1 5 2 Sümmeetrilise maatriksi korral aij ' aji . Sümmeetriline saab olla vaid ruutmaatriks. ÜLESANDED 8.8 Leida transponeeritud maatriksid: 2 1 12 9 2 6 12 6 7 9 7 8 A' B' 7 5 8 3 C ' 19 D' 2 8 4 3 0
li peadiagonaalil seisvad arvud a ja d ning lahutades tulemusest kõrval- diagonaalil seisvate arvude b ja c korrutise. Definitsioon 1.11 Kolmandat järku determinandiks nimetatakse avaldist a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a3 b1 c2 + a2 b3 c1 - a3 b2 c1 - a1 b3 c2 - a2 b1 c3 . a3 b3 c3 Joonis: http://www.sparknotes.com/math/algebra2/systemsofthreeequations/section3.rhtml 1.5 Kõrgemat järku determinant Olgu antud n-järku ruutmaatriks A = (aij ). Maatriksi A determinanti tähistame a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n |A| = .. .. .. .. . (1.8) . . . . an1 an2 ··· ann 11
Otsivektor ja tulemivektor võivad olla erisuunalised (horisontaalsed või vertikaalsed) või paralleelsed. Oluline on ainult mõlema võrdne elementide arv. =LOOKUP (lookup_value, array) Tulemus saadakse alati maatriksiriba viimasest reast või veerust. Võimaldab otsingut nii vertikaal- kui horisontaalmaatriksis otsides võrdlusväärtust vastavalt maatriksi mõõtmetele. Kui maatriks on ruutmaatriks või veege on rohkem kui ridu, otsitakse otsiväärtust esimesest reast, muidu aga esimesest veerust. Näide: Sisestades puu liigi, kuvatakse teile selle liigi hind NB! Funktsiooni LOOKUP jaoks peab piirkond, kust otsitakse otsiväärtust olema alati järjestatud kasvavalt. Tekstifunktsioonid Lisaks arvudele ja arvutamistele on Excelis võimalik opereerida ka tekstidega. Excelis on hulk funktsioone, mis teevad tehteid tekstidega
annaabi.ee 
