"reemile" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

f (x1 ) 0 x1 a x2 x Joonis 3.4: Teoreem vahepealsetest väärtustest. Järeldus 3.14 Intervallis pideva funktsiooni väärtuste hulk on intervall. 64 3 Pidevad funktsioonid Tõestus. Iseseisvalt!z Näide 3.5. Teoreemi 3.13 abil saab anda veel ühe (seejuures väga lihtsa) tõestuse teo- reemile n-astme juure olemasolust (vt. pt. 1, lause 1.20). √ Olgu b > 0 ja n ∈ N, näitame, et leidub parajasti üks selline c > 0, et cn = b, s.t. c = n b. Vaatleme funktsiooni f : [0, 1 + b] → R, x 7→ xn . See on pidev (kontrollida!)z, kusjuures f (0) = 0 ja f (1 + b) = (1 + b)n = 1 + nb + . . . + bn > nb > b. Teoreemi 3.13 põhjal leidub c ∈ (0, 1 + b) omadusega cn = b. Selle arvu c ühesuse kontrolli-