"raalarv" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Tingimuse 20 t˜ottu leidub jadal ξ piirpunkt x. Fikseerime hulga Fm , m ∈ N. Siis leidub n0 ∈ N nii, et n ≥ n0 =⇒ k(n) ≥ m. Seep¨arast n ≥ n0 =⇒ xn ∈ Fm . (7.10) 76 7 KOMPAKTSUS Punkti x igas u ¨mbruses leidub l˜opmatu palju jada ξ elemente ja tingimuse (7.10) t˜ottu ka l˜opmatu palju hulga Fm elemente. J¨arelikult x ∈ cl(Fm ) = Fm . Kuna m on mistahes natu- raalarv, siis x ∈ ∩∞ m=1 Fm ja tingimus (7.9) kehtib. Kuna ∩n=1 Fn = ∩∞ ∞ n=1 (X Ai ), siis tingimuse (7.9) t˜ ottu X = X (∩∞ ∞ n=1 Fn ) = X (∩n=1 X Ai ) = = ∪∞ ∞ i=1 (X (X Ai )) = ∪i=1 Ai , mis on vastuolus eeldusega, et A on ruumi X kate