Tõestus: Kuna funktsioon on pidev lõigul [a,b] saavutab ta seal oma suurima ja vähima väärtuse. Olgu suurimaks väärtuseks M ja vähimaks m. Iga korral kehtib võrratus ja määratud integraali 6. omaduse põhjal: Kuna m ja M on konstandid siis võib nad tuua integraalimärgi ette Jagades suurusega saame Näeme, et arv asub vähima ja suurima väärtuse vahel. Lõigul pidevate punktsioonide teise omaduse järgi leidub vähemalt üks punkt nii, et Korrutame selle arvuga ja arvestades, et 18. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton-Leibnitzi valem. Valemi tõestus. a. Muutuva ülemise rajaga integraali teoreem - Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon, mis avaldub valemiga , on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] b. Tõestus: b.i. Olgu x suvaline punkt lõigul [a,b]
Kui on pidev lõigul [a,b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus Kuna funktsioon on pidev lõigul [a,b] saavutab ta seal oma suurima ja vähima väärtuse. Olgu suurimaks väärtuseks M ja vähimaks m. Iga korral kehtib võrratus ja määratud integraali 6. Omaduse põhjal: Kuna m ja M on konstadnid siis võib nad tuua integraalimärgi ette Jagades suurusega saame Näeme, et arv asub vähima ja suurima väärtuse vahel. Lõigul pidevate punktsioonide teise omaduse järgi leidub vähemalt üks punkt nii, et Korrutame selle arvuga ja arvestades, et 40. Teoreem Muutuva ülemise rajaga integraal Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga , on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] Tõestus Olgu x suvaline punkt lõigul [a,b]. Tähistame argumendi x muudu sümboliga . Saame järgmise seose Integraali keskväärtusteoreemi põhjal leidub punktide x ja vahel punkt c nii, et kehtib võrdus Järelikult
annaabi.ee 
