"poloogilist" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Kuna ruum X rahuldab tingimust T1 , siis teoreemi 6.1 p˜ohjal tema iga u ¨heelemendili- ne alamhulk on kinnine ja tingimuse T3 t¨aidetus ruumis X j¨areldub tingimuse T4 t¨aidetusest. Viimasest teoreemist j¨areldub, et iga normeeritud ruum ja ruum Rn rahuldavad tingimusi T0 , T1 , T2 , T3 , T4 . Definitsioon 6.2 N˜oudeid T0 , . . . , T4 nimetatakse eral- duvuse aksioomideks. Definitsioon 6.3 Eralduvuse aksioomi T2 rahuldavat to- poloogilist ruumi nimetatakse Hausdorffi ruumiks. 64 6 ERALDUVUSE AKSIOOMID 6.2 Hausdorffi ruumi omadusi Kuna Hausdorffi ruumid on sagedamini esinevaid topoloogilisi ruume, siis j¨argnevalt loetletakse nende t¨ uu¨pilisemaid omadusi. Teoreem 6.25 Olgu X Hausdorffi ruum ja Y mis tahes topo- loogiline ruum. Siis 10 ruumi X iga l˜oplik alamhulk on kinnine; 20 ruumi X iga alamruum on Hausdorffi ruum;