"pittepositiivne" - 1 õppematerjal

Kollokvium III 1.17-1.23 kõik

L1. Kui punkt a on funktsiooni f(x) statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(x)0, siis funktsioonil f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum, kusjuures f''(a)<0 korral on punktis a lokaalne maksimum ja f''(x)>0 korral on punktis a lokaalne miinimum. Tõestus. Kui a on statsionaarne punkt, siis Lagrange'i kujuga Taylori valemile saan kuju , niiet kui jääkliige säilitab märki, siis kohal a on lokaalne ekstreemum, kusjuures kui selle ümbruses on jääkliige pittepositiivne on punktis a lokaalne maksimum ja mittenegatiivsuse korral lokaalne miinimum. Jääkliikme tegur (x-a)2/2! Ei muuda märki. Kuna f''(a)0 ja f''(x)C(a), siis leidub punkti a selline ümbrus, kus f''(a+(x-a)) ei muuda märki selles ümbruses. Seega seal a ümbruses, kus jääkliikme märk ei muutu eksisteeribki punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)<0, siis jääkliige on mittepositiivne ning tegemist on range