Topoloogilised ruumid
ga A igast lahtisest kattest ruumis X saab eraldada l˜opliku
osakatte) .
Kompaktsete hulkade n¨aiteid toome hiljem.
Definitsioon 7.5 Olgu A ⊂ X. Punkti x ∈ X nimeta-
takse hulga A piirpunktiks, kui tema iga u
¨mbrus sisaldab
l˜opmata palju hulga A punkte.
J¨arelikult hulga A iga piirpunkt on ka hulga A puutepunkt
ja kuulub hulga A sulundisse cl(A). Kinnine hulk sisaldab
k˜oiki oma piirpunkte.
7.1 Kompaktsuse definitsioon ja lihtsamaid j¨areldusi 69
Teoreem 7.27 Kui topoloogiline ruum X on kompaktne, siis
a) tema iga l˜opmatu alamhulk omab piirpunkti;
b) tema iga kinnine alamhulk on samuti kompaktne.
T˜oestus. Olgu A ruumi X l˜opmatu alamhulk. Vastuv¨aite-
liselt eeldame, et A ei oma piirpunkti. Siis iga punkti x ∈
X jaoks leidub tema selline lahtine u ¨mbrus U (x), et selles
¨mbruses on ainult l˜oplik arv hulga A punkte. Siis A =
u
annaabi.ee 
