"piirprotsesssi" - 1 õppematerjal

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

koht, millest alates on funktsioon monotoonne. Funktsioon on monotoonne protsessis x a U (a ) nii, et funktsioon on monotoone hulgas U (a ) . Funktsioon on monotoonne protsessis x x0 R nii, et funktsioon on monotoone hulgas [x0 , ) . Teoreem: Igal antud protsessis ülalt tõkestatud monotoonselt kasvaval funktsioonil on olemas piirväärtus selles protsessis. Tõestus: Tõestame teoreemi piirprotsesssi x korral. Funktsioon f on protsessis x ülalt tõkestatud, s.t. x 0 R nii, et f on ülalt tõkestatud hulgas [x0 , ) Funktsioon f on protsessis x monotoonselt kasvav, s.t. x1 R nii, et f on kasvav hulgas [x1 , ) Valime x = max(x0 , x1 ) . Siis { f ( x ) | x [x , )} on ülalt tõkestatud reaalarvude hulk. Pidevuse aksioomi põhjal on igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal olemas ülemine raja. sup{ f ( x ) | x [x , )} = A < Ülemine raja on kõige väiksem ülemine tõke: 1