"paktsuse" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

kompaktne alamhulk on kinnine. T˜oestus. Olgu A Hausdorffi ruumi X kompaktne alamhulk. Fikseerime punkti x ∈ X A. Iga punkti y ∈ A korral lei- dub punkti x lahtine u ¨mbrus U (y) ja punkti y lahtine u ¨mbrus V (y) nii, et U (y) ∩ V (y) = ∅. (7.2) 70 7 KOMPAKTSUS Siis A = {V (y)}y∈A on hulga A lahtine kate. Hulga A kom- paktsuse t˜ottu saab kattest A eraldada l˜opliku osakatte B = {V (y1 ), . . . , V (yn )}: A ⊂ ∪ni=1 V (yi ) (7.3) ¨ (y1 , . . . , yn ∈ A). Uhisosa U = ∩ni=1 U (yi ) on punkti x lahtine u ¨mbrus. Tingimuste (7.2) ja (7.3) t˜ottu U ∩ A ⊂ U ∩ (∪ni=1 V (yi )) = ∪ni=1 (U ∩ V (yi )) ⊂ ∪ni=1 (U (yi ) ∩ V (yi )) = ∪ni=1 ∅ = ∅, st U ∩A = ∅ ehk U ⊂ X A