"ouete" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

ning topoloogiat T2 = P(X), mis koosneb hulga X k˜oigist alamhulkadest. Topoloogiat T2 nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal X. N¨ aide 1.2 Vaatleme k˜oigi reaalarvude hulga R alamhul- kade hulka T ⊂ P(R), mis koosneb t¨ uhjast hulgast ∅ ja k˜oigist sellistest mittet¨ uhjadest hulkadest A ⊂ R, mis rahuldavad omadust: iga x ∈ A jaoks leidub lahtine vahemik ]a; b[⊂ A nii, et x ∈]a; b[. Saadud hulk T rahuldab topoloogiale esi- tatavaid n˜oudeid 10 − 30 . N˜ouete 10 ja 20 t¨aidetus on ilmne. N˜oude 30 t¨aidetus tuleneb aga j¨argnevast arutelust. Olgu A1 , . . . , An ∈ T ja A = ∩ni=1 Ai . Kui A = ∅, siis A ∈ T hulga T definitsiooni kohaselt. Seet˜ottu eeldame, et A = ∅. Olgu x ∈ A. Siis x ∈ Ai iga i = 1, . . . , n korral ja Ai ∈ T t˜ottu leiduvad sellised lahtised vahemikud ]ai ; bi [, et x ∈]ai ; bi [⊂ Ai . Valides arvuks a suurima arvudest a1 , . . . , an ja arvuks b v¨ahima arvudest b1 , . . . , bn , saame x ∈]a; b[⊂ Ai