"osatuletisteni" - 1 õppematerjal

Mitmemuutuja funktsioonid

v 1 u 1 = = y 1 u u z millest järeldub lõplik avaldis. y 9. Kõrgemat järku osatuletised. Teoreem segatuletisest. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Diferentseerides seda funktsiooni ning seejärel osatuletisi leiame algul esimest järku osatuletised, siis teist järku osatuletised jne. Teoreem 9.1. Olgu funktsioon f ( x, y ) ja selle osatuletised kuni teist järku osatuletisteni pidevad. Siis teist järku segatuletis ei sõltu diferentseerimise järjekorrast. 2z 2 z (9.1) = xy yx Tõestus. Vaatleme järgmist avaldist. A( x, y ) = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y + y ) - f ( x + x, y ) + f ( x, y ) Tähistame ( x ) = f ( x, y + y ) - f ( x, y ) Siis A = ( x + x ) - ( x ) ( x ) on pidev ja diferentseeruv lõigul [ x, x + x ] järelikult saame kasutada Lagrange'i valemit. ( x + x ) - ( x ) = ( x ) ( x + x - x ) = ( x ) x x ( x , x + x )